Considere as matrizes
A=[rrr 3 & 0 & 4 2 & 3 & 2 0 & 5 & -1 ] B=[rrr 5 & -2 & 4 0 & 3 & -5 2 & -4 & 7 ]
a) Calcule det(A), det(B) e det(A B).
b) Determine se A B é inversível.
c) Obtenha a inversa de A B, se inversível.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos as matrizes
A= 3 & 0 & 4 2 & 3 & 2 0 & 5 & -1 e B= 5 & -2 & 4 0 & 3 & -5 2 & -4 & 7 ,
e queremos
  1. det(A), det(B) e det(AB) usando a propriedade det(AB)=det(A)det(B);
  2. verificar se AB é invertível (isto é, se det(AB)neq0);
  3. encontrar (AB)^-1 pelo método da matriz adjunta (cofatores transposta), já que é uma 3times3.

Passo 2

Calcular det(A) por expansão em cofactores na primeira linha:
det(A) =3det3&25&-1 -0cdotl(cdotsr) +4det2&30&5
Dentro das determinantes:
det3&25&-1 =3cdot(-1)-2cdot5=-3-10=-13, det2&30&5 =2cdot5-3cdot0=10
Logo
det(A)=3cdot(-13)+4cdot10=-39+40=1

Passo 3

Calcular det(B) por expansão na primeira linha:
det(B) =5det3&-5-4&7 -(-2)det0&-52&7 +4det0&32&-4
Avaliações:
det3&-5-4&7 =3cdot7-(-5)cdot(-4)=21-20=1, det0&-52&7 =0cdot7-(-5)cdot2=10,
det0&32&-4 =0cdot(-4)-3cdot2=-6
Logo
det(B)=5cdot1+2cdot10+4cdot(-6)=5+20-24=1

Passo 4

Pela propriedade de determinantes,
det(AB)=det(A),det(B)=1cdot1=1

Passo 5

Como det(AB)=1neq0, concluímos que AB é invertível.

Passo 6

Para achar (AB)^-1 calculamos primeiro
AB = 3&0&42&3&20&5&-1 5&-2&40&3&-52&-4&7 = 23 & -22 & 40 14 & -3 & 7 -2 & 19 & -32

Passo 7

Como det(AB)=1, a inversa é simplesmente a matriz adjunta (transposta da matriz de cofactores). Calculando todos os cofatores e transpondo, obtemos
(AB)^-1 = -37 & 56 & -34 434 & -656& 399 260 & -393& 239

Resposta

det(A)=1, det(B)=1, det(AB)=1.
AB é invertível.
(AB)^-1 = -37 & 56 & -34 434 & -656& 399 260 & -393& 239

Exercícios relacionados