Determine se a matriz abaixo é inversível e em caso afirmativo, determine sua inversa.
[rrrr-2 & -3 & -1 & -2 -1 & 0 & 1 & -2 -3 & -1 & -4 & 1 -2 & 2 & -3 & -1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = -2 & -3 & -1 & -2 -1 & 0 & 1 & -2 -3 & -1 & -4 & 1 -2 & 2 & -3 & -1
é invertível e, em caso afirmativo, encontrar A^-1.
O método é o de Gauss–Jordan: montamos a matriz aumentada [Amid I] e aplicamos operações de linha até obter [Imid A^-1].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e escolhemos pivô na primeira coluna.
[cccc|cccc -2 & -3 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 -1 & 0 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 -3 & -1 & -4 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 -2 & 2 & -3 & -1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]
Trocamos R1rightarrow R2 e multiplicamos R1 por -1 para obter pivô 1 em (1,1). Em seguida zeramos abaixo em R2,R3,R4, resultando em
[cccc|cccc 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & -3 & -3 & 2 & 1 & -2 & 0 & 0 0 & -1 & -7 & 7 & 0 & -3 & 1 & 0 0 & 2 & -5 & 3 & 0 & -2 & 0 & 1 ]

Passo 3

Agora escolhemos pivô na segunda coluna. Trocamos R2rightarrow R3 e multiplicamos R2 por -1 para ter pivô 1 em (2,2). Zeramos as entradas de coluna 2 em R1,R3,R4, obtendo
[cccc|cccc 1 & 0 & -1 & 2 & 0 & -1 & 0 & 0 0 & 1 & 7 & -7 & 0 & 3 & -1& 0 0 & 0 & 18 & -19 & 1 & 7 & -3& 0 0 & 0 & -19& 17 & 0 & -8 & 2 & 1 ]

Passo 4

Escolhemos pivô na terceira coluna em R3. Dividimos R3 por 18 e em seguida zeramos a coluna 3 em R1,R2,R4. O resultado é
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & tfrac1718 & tfrac118 & -tfrac1118 & -tfrac16 & 0 0 & 1 & 0 & tfrac718 & -tfrac718 & tfrac518 & tfrac16 & 0 0 & 0 & 1 & -tfrac1918 & tfrac118 & tfrac718 & -tfrac16 & 0 0 & 0 & 0 & -tfrac5518& tfrac1918 & -tfrac1118 & -tfrac76 & 1 ]

Passo 5

Finalmente, dividimos R4 por -tfrac5518 para obter pivô 1 em (4,4) e então zeramos a coluna 4 em R1,R2,R3. Ficamos com
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & tfrac2155 & -tfrac4455 & -tfrac2955 & tfrac1755 0 & 1 & 0 & 0 & -tfrac1455& tfrac1155 & tfrac155 & tfrac755 0 & 0 & 1 & 0 & -tfrac1755& tfrac3355 & tfrac1355 & -tfrac1955 0 & 0 & 0 & 1 & -tfrac1955& tfrac1155 & tfrac2155 & -tfrac1855 ]
Como chegamos em [Imid B], concluímos que det(A)neq0 e B=A^-1.

Resposta

A^-1 = 155 21 & -44 & -29 & 17 -14 & 11 & 1 & 7 -17 & 33 & 13 & -19 -19 & 11 & 21 & -18

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