Determine se a matriz abaixo é inversível e em caso afirmativo, determine sua inversa.
[rrrr2 & 0 & -1 & 8 3 & 8 & 6 & 0 1 & -7 & -5 & 0 0 & 7 & 5 & 4]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 2 & 0 & -1 & 8 3 & 8 & 6 & 0 1 & -7 & -5 & 0 0 & 7 & 5 & 4
é invertível e, em caso afirmativo, calcular A^-1. O conteúdo principal é determinante e resolução de sistemas lineares para obter as colunas de A^-1.

Passo 2

Para ver se A é invertível, vamos triangularizar e calcular o determinante. Usando eliminação de Gauss (sem exibir cada operação), chega–se à forma triangular com pivôs
2,;8,;3316,;11633
Portanto
det(A) =2cdot 8cdot 3316cdot 11633 =116neq 0
Como det(A)neq 0, a matriz é invertível.

Passo 3

Para obter A^-1, resolvemos A,x = e1, onde e1=(1,0,0,0)^T. Das equações
2x1 - x3 + 8x4 = 1, 3x1 + 8x2 + 6x3 = 0, x1 -7x2 -5x3 = 0, 7x2 +5x3 +4x4 = 0,
segue-se, por substituição e eliminação,
x^(1) = 229[6pt] 2129[6pt] -1[3pt] -158 ]

Passo 4

Agora resolvemos A,x = e2 com e2=(0,1,0,0)^T. Das mesmas combinações de equações obtemos
x^(2) = 729[6pt] 129[6pt] 0[3pt] -7116 ]

Passo 5

Para A,x = e3, e3=(0,0,1,0)^T, as contas dão
x^(3) = 429[6pt] -4529[6pt] 2[3pt] 25116 ]

Passo 6

Finalmente, para A,x = e4, e4=(0,0,0,1)^T, obtemos
x^(4) = -429[6pt] -4229[6pt] 2[3pt] 33116 ]

Passo 7

Juntando as colunas x^(1),x^(2),x^(3),x^(4), obtemos
A^-1 = 2/29 & 7/29 & 4/29 & -4/29 21/29 & 1/29 & -45/29 & -42/29 -1 & 0 & 2 & 2 -1/58 & -7/116 & 25/116 & 33/116

Resposta

A matriz A é invertível (pois det(A)=116neq0) e
A^-1 = tfrac229 & tfrac729 & tfrac429 & tfrac-429 tfrac2129 & tfrac129 & tfrac-4529 & tfrac-4229 -1 & 0 & 2 & 2 -tfrac158 & -tfrac7116 & tfrac25116 & tfrac33116

Exercícios relacionados