Considere as matrizes a seguir (a e b são numeros reais):
A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 1 & 2 \end{array}\right]_{2 x 2} \quad D=\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 \\\\ -1 & 1 \end{array}\right]_{2 x 2}
B=\left[\begin{array}{ll} a & b \\\\ 0 & 3 \end{array}\right]_{2 x 2} \quad Q=\left[\begin{array}{cc} -b & -7 \\\ a & -5 \end{array}\right]_{2 x 2}
Determine a e b para que 4 A+Q^{t}=B D.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix},\quad B = \begin{pmatrix}a & b \\\\ 0 & 3\end{pmatrix},\quad Q = \begin{pmatrix}-b & -7 \\\ a & -5\end{pmatrix},
e pede para encontrar a e b tais que
4A + Q^t = B\,D.
Vamos usar operações de transposta, soma de matrizes e multiplicação de matrizes para resolver.

Passo 2

Calcular a transposta de Q. Como
Q = \begin{pmatrix}-b & -7 \\\ a & -5\end{pmatrix},
temos
Q^t = \begin{pmatrix}-b & a \\\\ -7 & -5\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular 4A + Q^t. Primeiro 4A é
4A = 4\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 & 4 \\\\ 4 & 8\end{pmatrix}.
Somando com Q^t,
4A + Q^t = \begin{pmatrix}8 & 4 \\\\ 4 & 8\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-b & a \\\\ -7 & -5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 - b & a + 4 \\\\ 4 - 7 & 8 - 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 - b & a + 4 \\\\ -3 & 3\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcular o produto B\,D. Com
B = \begin{pmatrix}a & b \\\\ 0 & 3\end{pmatrix},\quad D = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix},
temos
B\,D = \begin{pmatrix} a\cdot1 + b\cdot(-1) & a\cdot2 + b\cdot1 \\\\ 0\cdot1 + 3\cdot(-1) & 0\cdot2 + 3\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a - b & 2a + b \\\\ -3 & 3\end{pmatrix}.

Passo 5

Igualar as matrizes 4A + Q^t e B\,D:
\begin{pmatrix}8 - b & a + 4 \\\\ -3 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a - b & 2a + b \\\\ -3 & 3\end{pmatrix}.
Isso gera o sistema
8 - b = a - b, \quad a + 4 = 2a + b.
Da primeira equação obtemos a = 8. Substituindo em a + 4 = 2a + b,
8 + 4 = 2\cdot8 + b \;\Longrightarrow\; 12 = 16 + b \;\Longrightarrow\; b = -4.

Resposta

a = 8,\quad b = -4

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