Determine os valores possíveis de a para que o determinante da matriz A seja diferente de zero.
A=\left[\begin{array}{lll} 1 & a & 1 \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 \end{array}\right]_{3 x 3}

Passo 1

O enunciado pede os valores de a tais que a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1\\\ a & 1 & a\\\ a & a & 1 \end{pmatrix}
seja invertível, isto é, seu determinante seja diferente de zero. Vamos usar a expansão por cofactores para calcular \det(A) e depois achar os valores de a que anulem esse determinante.

Passo 2

Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & a\\\ a & 1\end{pmatrix} - a\cdot\det\begin{pmatrix}a & a\\\ a & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}a & 1\\\ a & a\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & a\\\ a & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - a\cdot a = 1 - a^2,
\det\begin{pmatrix}a & a\\\ a & 1\end{pmatrix} =a\cdot1 - a\cdot a = a - a^2,
\det\begin{pmatrix}a & 1\\\ a & a\end{pmatrix} =a\cdot a - 1\cdot a = a^2 - a.
Substituindo:
\det(A) =(1 - a^2) - a\,(a - a^2) + (a^2 - a).

Passo 3

Simplificando o polinômio:
\det(A) =1 - a^2 - a^2 + a^3 + a^2 - a = a^3 - a^2 - a + 1.
Note que
a^3 - a^2 - a + 1 = (a^2 - 1)(a - 1) = (a-1)^2\,(a+1).

Passo 4

Para \det(A)\neq0 precisamos evitar as raízes do polinômio (a-1)^2(a+1). As soluções de \det(A)=0 são
a=1\quad(\text{multiplicidade 2}) \quad\text{e}\quad a=-1.
Logo, \det(A)\neq0 para todos os a reais exceto a=1 e a=-1.

Resposta

Os valores de a que tornam \det(A)\neq0 são todos os reais, com
a\neq1 \quad\text{e}\quad a\neq-1.

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