Determine os valores possíveis de a para que o determinante da matriz A seja diferente de zero.
A=\left[\begin{array}{lll}
1 & a & 1 \\
a & 1 & a \\
a & a & 1
\end{array}\right]_{3 x 3}
Passo 1
O enunciado pede os valores de a tais que a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1\\\ a & 1 & a\\\ a & a & 1 \end{pmatrix}
seja invertível, isto é, seu determinante seja diferente de zero. Vamos usar a expansão por cofactores para calcular \det(A) e depois achar os valores de a que anulem esse determinante.
Passo 2
Calculando o determinante por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & a\\\ a & 1\end{pmatrix} - a\cdot\det\begin{pmatrix}a & a\\\ a & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}a & 1\\\ a & a\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & a\\\ a & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - a\cdot a = 1 - a^2,
\det\begin{pmatrix}a & a\\\ a & 1\end{pmatrix} =a\cdot1 - a\cdot a = a - a^2,
\det\begin{pmatrix}a & 1\\\ a & a\end{pmatrix} =a\cdot a - 1\cdot a = a^2 - a.
Substituindo:
\det(A) =(1 - a^2) - a\,(a - a^2) + (a^2 - a).
Passo 3
Simplificando o polinômio:
\det(A) =1 - a^2 - a^2 + a^3 + a^2 - a = a^3 - a^2 - a + 1.