Verificar se a reta r está contida no plano pi :
r:l y=4 x+1 z=2 x-1 e pi: 2 x+y-3 z-4=0

Passo 1

O enunciado dá a reta
e o plano . Para isso precisamos (1) parametrizar em forma vetorial, (2) checar se seu vetor diretor é ortogonal ao vetor normal do plano (o que garante paralelismo) e (3) verificar se algum ponto de satisfaz a equação de .

Passo 2

Parametrizamos r tomando x=t. Assim
r:;(x,y,z)=(t,;4t+1,;2t-1)
Dessa forma, um ponto de r é A=(0,1,-1) (para t=0) e seu vetor diretor é
vec v = (1,4,2)

Passo 3

O vetor normal de pi é vec n=(2,1,-3). Calculamos o produto escalar:
vec ncdotvec v =2cdot1 + 1cdot4 + (-3)cdot2 =2+4-6 =0
Como vec ncdotvec v=0, a reta é paralela ao plano.

Passo 4

Agora verificamos se A=(0,1,-1) pertence a pi substituindo em 2x+y-3z-4=0:
2cdot0 + 1 -3(-1) -4 =0 +1 +3 -4 =0
Logo Ainpi.

Passo 5

Uma reta paralela a um plano e que contém um ponto desse plano está inteiramente contida nele. Portanto concluímos que rsubsetpi.

Resposta

A reta r está contida no plano pi.

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