Considere as matrizes e B=(ccc2 a & 6 d & 2 g b & 3 e & h 5 c & 15 f & 5 k). Sendo det(A) e det(B) os determinantes das matrizes A e B, respectivamente, calcule a relação entre det(A) e det(B).
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes A e B em R^3times3 e pede a relação entre det(A) e det(B).
O conteúdo envolve propriedades de determinantes:
– det(AB)=det(A)det(B),
– det(A^T)=det(A),
– detl(diag(lambda1,dots,lambdan)r)=lambda1cdotslambdan.
Passo 2
Vamos observar que cada entrada de B vem de A transposta e escalonada por fatores em linhas e colunas. De fato, escolhemos
D1=diag(2,1,5), D2=diag(1,3,1)
e verificamos que
B=D1,A^T,D2
Em coordenadas, isso significa
Bij=(D1)ii,(A^T)ij,(D2)jj = ri,Aji,cj
com r=(2,1,5) e c=(1,3,1), o que reproduz exatamente os coeficientes de B.
Passo 3
Usando det(AB)=det(A)det(B) e det(A^T)=det(A), temos