Em dado plano são dados um quadrilátero
e um ponto
. Mostre que os pontos, simétricos a
com relação aos pontos médios dos lados do quadrilátero, são os vértices de um paralelogramo.
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero
num plano e um ponto
. Pede-se que mostremos que as quatro imagens de
por simetria em relação aos pontos médios dos lados
,
,
e
são vértices de um paralelogramo. O conteúdo principal é usar geometria vetorial e a definição de simetria central.
Passo 2
Sejam
— o ponto médio de
,
— o ponto médio de
,
— o ponto médio de
,
— o ponto médio de
.
Denotemos por ,
,
e
as imagens de
por simetria em relação a
,
,
e
, respectivamente.
—
—
—
—
Denotemos por
Passo 3
Em vetores, a simetria de
em relação a
satisfaz
Logo
De modo análogo,
Passo 4
Calculemos as somas dos vértices opostos:
Portanto
ou seja, os segmentos
e
têm o mesmo ponto médio.
Passo 5
Um quadrilátero cujas diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios é um paralelogramo. Concluímos que
é um paralelogramo.
Resposta
Os quatro pontos simétricos a
em relação aos pontos médios dos lados de
são vértices de um paralelogramo.