Em dado plano são dados um quadrilátero A B C D e um ponto M. Mostre que os pontos, simétricos a M com relação aos pontos médios dos lados do quadrilátero, são os vértices de um paralelogramo.

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero ABCD num plano e um ponto M. Pede-se que mostremos que as quatro imagens de M por simetria em relação aos pontos médios dos lados AB, BC, CD e DA são vértices de um paralelogramo. O conteúdo principal é usar geometria vetorial e a definição de simetria central.

Passo 2

Sejam
E o ponto médio de AB,
F o ponto médio de BC,
G o ponto médio de CD,
H o ponto médio de DA.
Denotemos por P, Q, R e S as imagens de M por simetria em relação a E, F, G e H, respectivamente.

Passo 3

Em vetores, a simetria de M em relação a E satisfaz
E=A+B2, P=2E-M
Logo
P=A+B-M
De modo análogo,
Q=B+C-M, R=C+D-M, S=D+A-M

Passo 4

Calculemos as somas dos vértices opostos:
P+R =(A+B-M)+(C+D-M) =A+B+C+D-2M,
Q+S =(B+C-M)+(D+A-M) =A+B+C+D-2M
Portanto
P+R=Q+S,
ou seja, os segmentos PR e QS têm o mesmo ponto médio.

Passo 5

Um quadrilátero cujas diagonais se interceptam nos respectivos pontos médios é um paralelogramo. Concluímos que PQRS é um paralelogramo.

Resposta

Os quatro pontos simétricos a M em relação aos pontos médios dos lados de ABCD são vértices de um paralelogramo.

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