Para todo triângulo A B C e qualquer ponto P no espaço, mostre que
X A cdot B C+X B cdot C A+X C cdot A B=0

Passo 1

O enunciado pede para qualquer triângulo ABC e qualquer ponto X no espaço mostrar que
XAcdotBC+XBcdotCA+XCcdotAB=0
O conteúdo é produto escalar de vetores e representação de vetores de posição.

Passo 2

Seja vec x o vetor posição de X, e vec a,vec b,vec c os vetores posição de A,B,C. Então
XA=vec a-vec x, XB=vec b-vec x, XC=vec c-vec x
e
BC=vec c-vec b, CA=vec a-vec c, AB=vec b-vec a

Passo 3

Calculamos cada produto escalar:
(vec a-vec x)!cdot!(vec c-vec b) =vec a!cdot!vec c-vec a!cdot!vec b-vec x!cdot!vec c+vec x!cdot!vec b,
(vec b-vec x)!cdot!(vec a-vec c) =vec b!cdot!vec a-vec b!cdot!vec c-vec x!cdot!vec a+vec x!cdot!vec c,
(vec c-vec x)!cdot!(vec b-vec a) =vec c!cdot!vec b-vec c!cdot!vec a-vec x!cdot!vec b+vec x!cdot!vec a

Passo 4

Somando as três expressões, cada termo do tipo vec a!cdot!vec b, vec a!cdot!vec c, vec b!cdot!vec c, vec x!cdot!vec a, vec x!cdot!vec b, vec x!cdot!vec c aparece uma vez com sinal + e outra com sinal -. Logo toda a soma se anula, resultando em zero.

Resposta

XAcdotBC+XBcdotCA+XCcdotAB=0

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