Uma matriz
é idempotente se
. Sejam
e
matrizes quadradas de mesma ordem tais que
e
. Mostre que
e
são matrizes idempotentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes idempotentes, que são aquelas que, quando multiplicadas por si mesmas, continuam iguais. Ou seja, uma matriz
é idempotente se
. A gente tem duas matrizes quadradas
e
de mesma ordem que satisfazem
e
. Nosso objetivo aqui é mostrar que tanto
quanto
são idempotentes. Para isso, vamos usar propriedades de multiplicação de matrizes e algumas manobras algébricas simples.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que
é idempotente. Sabemos que
. Nosso objetivo é encontrar
. Então, vamos multiplicar ambos os lados da equação
por
à direita:
Mas sabemos que
, então substituindo:
Portanto:
Isso mostra que
, ou seja,
é idempotente.
Passo 3
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Sabemos que
. Queremos encontrar
. Vamos multiplicar ambos os lados da equação
por
à direita:
Como
, substituímos:
Assim, temos:
Isso demonstra que
, ou seja,
também é idempotente.
Resposta
Tanto
quanto
são matrizes idempotentes, pois
e
.