Uma matriz A é idempotente se A^2=A. Sejam M e N matrizes quadradas de mesma ordem tais que M N=M e N M=N. Mostre que M e N são matrizes idempotentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre matrizes idempotentes, que são aquelas que, quando multiplicadas por si mesmas, continuam iguais. Ou seja, uma matriz A é idempotente se A^2 = A . A gente tem duas matrizes quadradas M e N de mesma ordem que satisfazem M N = M e N M = N . Nosso objetivo aqui é mostrar que tanto M quanto N são idempotentes. Para isso, vamos usar propriedades de multiplicação de matrizes e algumas manobras algébricas simples.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que M é idempotente. Sabemos que M N = M . Nosso objetivo é encontrar M^2 . Então, vamos multiplicar ambos os lados da equação M N = M por M à direita:
M N M = M M
Mas sabemos que M N = M , então substituindo:
M cdot M = M^2
Portanto:
M^2 = M M = M cdot M = M
Isso mostra que M^2 = M , ou seja, M é idempotente.

Passo 3

Agora, vamos fazer o mesmo para N . Sabemos que N M = N . Queremos encontrar N^2 . Vamos multiplicar ambos os lados da equação N M = N por N à direita:
N M N = N N
Como N M = N , substituímos:
N cdot N = N^2
Assim, temos:
N^2 = N N = N cdot N = N
Isso demonstra que N^2 = N , ou seja, N também é idempotente.

Resposta

Tanto M quanto N são matrizes idempotentes, pois M^2 = M e N^2 = N .

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