Seja T: R^3 R^2 tal que [T]B2^B1=[ccc1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1], com B1=(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1) e B2=(-1,0),(0,-1).
Determine Nuc(T) e uma base para esse subespaço do R^3.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear Tcolon R^3toR^2 e suas matrizes de mudança de base em B1 no domínio e B2 no contradomínio. Para achar Nuc(T) (o núcleo de T) basta resolver
[T]B2^B1,[v]B1 = 0
isto é, resolver o sistema linear associado à matriz dada.

Passo 2

Escrevendo
o núcleo é
Da primeira equação vem (x_1 = x_3]. Substituindo na segunda:

Logo o vetor de coordenadas é

Passo 3

O vetor genérico vinR^3 em coordenadas da base B1=b1,b2,b3 é
v = x1,b1 + x2,b2 + x3,b3
Para x=(t,0,t) temos
v = t,b1 + 0cdot b2 + t,b3 = tl(b1 + b3r) = tl((0,1,1)+(1,0,1)r) = t,(1,1,2)
Portanto
Nuc(T) = ,t,(1,1,2)mid tinR

Resposta

Nuc(T)=t,(1,1,2)mid tinR e uma base para esse subespaço é (1,1,2).

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