Considere as matrizes 3 \times 3 abaixo:
\mathcal{A}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -1 \\\\ 4 & 2 & 3 \\\\ 2 & 4 & -2 \end{array}\right), \mathcal{B}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\\\ 6 & 1 & 3 \\\\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right), \mathcal{C}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 3 \\\\ -1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 5 & 2 \end{array}\right) .
Calcule o determinante da:
matriz \mathcal{A}, desenvolvendo-o pela primeira linha e pela segunda coluna.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
\mathcal{A} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1\\\\ 4 & 2 & 3\\\\ 2 & 4 & -2 \end{pmatrix}
usando a técnica de expansão de Laplace (cofatores) primeiro pela primeira linha e depois pela segunda coluna. Para isso vamos lembrar que, ao expandir pela linha i,
\det(\mathcal{A}) \;=\;\sum_{j=1}^{3} a_{ij}\,C_{ij},
onde
C_{ij} = (-1)^{\,i+j}\,M_{ij},
e M_{ij} é o determinante da submatriz que sobra ao riscar a linha i e a coluna j.

Passo 2

Expansão pela primeira linha ( i=1):
\det(\mathcal{A}) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}.
Calculemos cada menor e cofator:
M_{11} = \begin{vmatrix}2 & 3 \\\\ 4 & -2\end{vmatrix} = 2\cdot(-2) - 3\cdot4 = -4 - 12 = -16, \quad C_{11} = (-1)^{1+1}\,M_{11} = (+1)\,(-16) = -16.
M_{12} = \begin{vmatrix}4 & 3 \\\\ 2 & -2\end{vmatrix} = 4\cdot(-2) - 3\cdot2 = -8 - 6 = -14, \quad C_{12} = (-1)^{1+2}\,M_{12} = (-1)\,(-14) = +14.
M_{13} = \begin{vmatrix}4 & 2 \\\\ 2 & 4\end{vmatrix} = 4\cdot4 - 2\cdot2 = 16 - 4 = 12, \quad C_{13} = (-1)^{1+3}\,M_{13} = (+1)\,(12) = 12.
Substituindo em \det(\mathcal{A}):
\det(\mathcal{A}) = 1\cdot(-16) + 3\cdot14 + (-1)\cdot12 = -16 + 42 - 12 = 14.

Passo 3

Expansão pela segunda coluna ( j=2):
\det(\mathcal{A}) = a_{12}C_{12} + a_{22}C_{22} + a_{32}C_{32}.
Aqui a_{12}=3, a_{22}=2, a_{32}=4. Vamos aos menores e cofatores:
M_{12} = \begin{vmatrix}4 & 3 \\\\ 2 & -2\end{vmatrix} = -14, \quad C_{12} = (-1)^{1+2}\,M_{12} = +14.
M_{22} = \begin{vmatrix}1 & -1 \\\\ 2 & -2\end{vmatrix} = 1\cdot(-2) - (-1)\cdot2 = -2 + 2 = 0, \quad C_{22} = (-1)^{2+2}\,M_{22} = 0.
M_{32} = \begin{vmatrix}1 & -1 \\\\ 4 & 3\end{vmatrix} = 1\cdot3 - (-1)\cdot4 = 3 + 4 = 7, \quad C_{32} = (-1)^{3+2}\,M_{32} = -7.
Logo,
\det(\mathcal{A}) = 3\cdot14 + 2\cdot0 + 4\cdot(-7) = 42 - 28 = 14.

Resposta

O determinante de \mathcal{A} é 14.

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