(Questão 1)[2,00] Ache equações na forma simétrica da reta perpendicular às retas
r:\left\{\begin{array}{l} x=1+\lambda \\\ y=\lambda \\\ z=0 \end{array} \quad s:\left\{\begin{array}{l} x=0 \\\ y=\mu \\\ z=1+\mu \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede a forma simétrica da reta que é perpendicular simultaneamente às retas
r:\begin{cases} x=1+\lambda,\\\ y=\lambda,\\\ z=0, \end{cases} \quad s:\begin{cases} x=0,\\\ y=\mu,\\\ z=1+\mu. \end{cases}
O conteúdo é geometria analítica em \mathbb{R}^3. Vamos precisar
  1. verificar se r e s se interceptam;
  2. obter o ponto de interseção P;
  3. calcular um vetor diretor ortogonal a ambas as direções de r e s (produto vetorial);
  4. montar a reta perpendicular em P com esse vetor.

Passo 2

Identificamos os vetores diretores de cada reta:
d_1=(1,1,0) para r e d_2=(0,1,1) para s.

Passo 3

Para ver se elas se interceptam, igualamos as coordenadas de um ponto genérico em r e em s:
1+\lambda=0,\quad \lambda=\mu,\quad 0=1+\mu.
Da primeira vem \lambda=-1, da segunda \mu=-1, e da terceira 0=1+(-1) ok.
Logo intersectam-se em
P=(1+(-1),\,(-1),\,0)=(0,-1,0).

Passo 4

A reta perpendicular deve ter direção ortogonal a d_1 e a d_2. Calculamos
n=d_1\times d_2 =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 1&1&0\\\\ 0&1&1 \end{vmatrix} =(1,-1,1).

Passo 5

A reta buscada passa por P=(0,-1,0) e tem vetor diretor n=(1,-1,1).
Em forma paramétrica:
\begin{cases} x=0+t,\\\ y=-1-t,\\\ z=0+t. \end{cases}
Na forma simétrica fica
\frac{x-0}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-0}{1}.

Resposta

\frac{x}{1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}.

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