Determine para quais valores de m \in \mathbb{R} o paralelepípedo \mathcal{P} de vértices A=(1,1,1), B=(2,3,4), C=(5,2,-1) e D=(1,2, m) tem volume igual a 14.

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em \mathbb{R}^3,
A=(1,1,1),\quad B=(2,3,4),\quad C=(5,2,-1),\quad D=(1,2,m),
e pede para achar m de modo que o volume do paralelepípedo com vértices em A,B,C,D seja 14.
Para isso usamos o produto misto das arestas que saem de A:
\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC} e \overrightarrow{AD}.

Passo 2

Calculemos as três arestas a partir de A:
\overrightarrow{AB}=B-A=(2-1,\,3-1,\,4-1)=(1,2,3),
\overrightarrow{AC}=C-A=(5-1,\,2-1,\,-1-1)=(4,1,-2),
\overrightarrow{AD}=D-A=(1-1,\,2-1,\,m-1)=(0,1,m-1).

Passo 3

O volume do paralelepípedo é
V=\left|\det\bigl[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\bigr]\right|.
Vamos calcular esse determinante:
\det\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 4 & 1 & -2\\\\ 0 & 1 & m-1 \end{pmatrix} =1\cdot\bigl(1\cdot(m-1)-(-2)\cdot1\bigr) -2\cdot\bigl(4\cdot(m-1)-(-2)\cdot0\bigr) +3\cdot\bigl(4\cdot1-1\cdot0\bigr).
Simplificando cada termo:
1\cdot\bigl((m-1)+2\bigr) -2\cdot\bigl(4(m-1)\bigr) +3\cdot4 =(m+1)-8(m-1)+12=-7m+21.
Logo
V=\bigl|-7m+21\bigr|.

Passo 4

Impondo V=14, temos
\bigl|-7m+21\bigr|=14.
Isso gera duas equações:
-7m+21=14 \quad\Longrightarrow\quad m=1,
-7m+21=-14 \quad\Longrightarrow\quad m=5.

Resposta

Os valores de m que tornam o volume igual a 14 são
m=1 \quad\text{ou}\quad m=5.

Exercícios relacionados