Considere as matrizes 3 \times 3 abaixo:
\mathcal{A}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -1 \\\\ 4 & 2 & 3 \\\\ 2 & 4 & -2 \end{array}\right), \mathcal{B}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\\\ 6 & 1 & 3 \\\\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right), \mathcal{C}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 3 \\\\ -1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 5 & 2 \end{array}\right) .
Calcule o determinante da:
matriz \mathcal{C}, desenvolvendo-o pela terceira linha e pela segunda coluna.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
\mathcal{C} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 3\\\\ -1 & 3 & 2\\\\ 0 & 5 & 2 \end{pmatrix}
e pede o valor de \det(\mathcal{C}) de duas maneiras: desenvolvendo pela terceira linha e pela segunda coluna. O conteúdo utilizado é o desenvolvimento de determinante por cofactores.

Passo 2

Desenvolvendo \det(\mathcal{C}) pela terceira linha, cujo elementos são c_{31}=0, c_{32}=5 e c_{33}=2, temos
\det(\mathcal{C}) = \sum_{j=1}^{3} (-1)^{3+j}\,c_{3j}\,\det(M_{3j}).
Como c_{31}=0, apenas os termos j=2,3 são não nulos:
\det(\mathcal{C}) = (-1)^{3+2}\,5\;\det\!\begin{pmatrix}2 & 3\\[-4pt]-1 & 2\end{pmatrix} +(-1)^{3+3}\,2\;\det\!\begin{pmatrix}2 & 0\\[-4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.
Calculando os menores:
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[-4pt]-1 & 2\end{pmatrix} =2\cdot2 - 3\cdot(-1)=4+3=7, \quad \det\begin{pmatrix}2 & 0\\[-4pt]-1 & 3\end{pmatrix} =2\cdot3 - 0\cdot(-1)=6.
Logo,
\det(\mathcal{C}) = (-1)\cdot5\cdot7 \;+\;1\cdot2\cdot6 = -35 + 12 = -23.]

Passo 3

Agora desenvolvendo \det(\mathcal{C}) pela segunda coluna, cujos elementos são c_{12}=0, c_{22}=3 e c_{32}=5, obtemos
\det(\mathcal{C}) = \sum_{i=1}^{3} (-1)^{i+2}\,c_{i2}\,\det(M_{i2}).
O termo i=1 some porque c_{12}=0. Para i=2,3:
\det(\mathcal{C}) = (-1)^{2+2}\,3\;\det\!\begin{pmatrix}2 & 3\\[-4pt]0 & 2\end{pmatrix} +(-1)^{3+2}\,5\;\det\!\begin{pmatrix}2 & 3\\[-4pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
Os menores são
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\[-4pt]0 & 2\end{pmatrix} =2\cdot2 - 3\cdot0=4, \quad \det\begin{pmatrix}2 & 3\\[-4pt]-1 & 2\end{pmatrix} =7
(conforme calculado antes). Assim,
\det(\mathcal{C}) = 1\cdot3\cdot4 +(-1)\cdot5\cdot7 = 12 - 35 = -23.]

Resposta

-23

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