Considere as matrizes 3 \times 3 abaixo:
\mathcal{A}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -1 \\\\ 4 & 2 & 3 \\\\ 2 & 4 & -2 \end{array}\right), \mathcal{B}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & -2 \\\\ 6 & 1 & 3 \\\\ 4 & -3 & 7 \end{array}\right), \mathcal{C}=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 3 \\\\ -1 & 3 & 2 \\\\ 0 & 5 & 2 \end{array}\right) .
Calcule o determinante da:
matriz \mathcal{B}, desenvolvendo-o pela segunda linha e pela terceira coluna.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
\mathcal{B} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\[6pt] 6 & 1 & 3 \\[6pt] 4 & -3 & 7 \end{pmatrix}
usando a expansão de Laplace (cofator) em dois casos: pela segunda linha e pela terceira coluna. O conteúdo aqui é saber aplicar a fórmula
\det(\mathcal{B}) \;=\;\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j}b_{ij}\,M_{ij}
onde M_{ij} é o menor complementar de b_{ij}.]

Passo 2

Expansão pela segunda linha ( i=2):
\det(\mathcal{B}) =\sum_{j=1}^{3}(-1)^{2+j}\,b_{2j}\,M_{2j}
– Para j=1: b_{21}=6, sinal (-1)^{2+1}=-1 e
M_{21}=\det\begin{pmatrix}2 & -2\\[3pt]-3 & 7\end{pmatrix} =2\cdot7 -(-2)\cdot(-3)=14-6=8,
contribuição -1\cdot6\cdot8=-48.
– Para j=2: b_{22}=1, sinal (-1)^{2+2}=+1 e
M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[3pt]4 & 7\end{pmatrix} =1\cdot7 -(-2)\cdot4=7+8=15,
contribuição +1\cdot1\cdot15=15.
– Para j=3: b_{23}=3, sinal (-1)^{2+3}=-1 e
M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[3pt]4 & -3\end{pmatrix} =1\cdot(-3) - 2\cdot4=-3-8=-11,
contribuição -1\cdot3\cdot(-11)=+33.
Somando: -48 + 15 + 33 = 0.]

Passo 3

Expansão pela terceira coluna ( j=3):
\det(\mathcal{B}) =\sum_{i=1}^{3}(-1)^{i+3}\,b_{i3}\,M_{i3}
– Para i=1: b_{13}=-2, sinal (-1)^{1+3}=+1 e
M_{13}=\det\begin{pmatrix}6 & 1\\[3pt]4 & -3\end{pmatrix} =6\cdot(-3)-1\cdot4=-18-4=-22,
contribuição +(-2)\cdot(-22)=44.
– Para i=2: b_{23}=3, sinal (-1)^{2+3}=-1 e
M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[3pt]4 & -3\end{pmatrix} =-11
(conforme já calculado), contribuição -1\cdot3\cdot(-11)=33.
– Para i=3: b_{33}=7, sinal (-1)^{3+3}=+1 e
M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[3pt]6 & 1\end{pmatrix} =1\cdot1 - 2\cdot6=1-12=-11,
contribuição +7\cdot(-11)=-77.
Somando: 44 + 33 - 77 = 0.]

Resposta

\det(\mathcal{B}) = 0

Exercícios relacionados