A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano
:
Calcule o valor de
para que a referida equação torne-se:
(a) a equação de uma circunferência;
(b) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo
;
(c) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo
.
(d) a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo
.
(e) a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo
.
(f) Um conjunto vazio.
(a) a equação de uma circunferência;
(b) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo
(c) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo
(d) a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo
(e) a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo
(f) Um conjunto vazio.
Passo 1
O enunciado dá a curva em forma canônica
e pede valores de
para que isso seja: circunferência, elipse (focos em
ou em
), hipérbole (focos em
ou em
) ou conjunto vazio. Vamos usar que
- É circunferência se os dois denominadores são iguais e positivos;
- É elipse se ambos os denominadores são positivos e distintos, e o eixo maior fica na direção do denominador maior;
- É hipérbole se os denominadores tiverem sinais opostos, ficando eixo transverso na direção do denominador positivo;
- É conjunto vazio se ambos os denominadores forem negativos (pois a soma de dois termos não positivos não alcança 1).
Passo 2
Para ser circunferência precisamos
Da igualdade vem
, e aí
.
Passo 3
Para ser elipse com focos no eixo
exigimos
isto é,
e
. Logo
Passo 4
Para ser elipse com focos no eixo
exigimos
isto é,
e
. Como
já garante
, temos
Passo 5
Para ser hipérbole com focos no eixo
precisamos denom. de
positivo e de
negativo, ou seja
daí
e
. Portanto
Passo 6
Para ser hipérbole com focos no eixo
precisaríamos
isto é,
e
, o que é impossível. Não há
satisfazendo.
Passo 7
Para o conjunto vazio pedimos ambos os denominadores negativos:
isto é,
e
, logo
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) nenhum valor de
(f)
(b)
(c)
(d)
(e) nenhum valor de
(f)