A equação da curva abaixo pode ser a equação de uma elipse, ou a equação de uma circunferência, ou a equação de uma hipérbole no plano x y :
\frac{x^{2}}{k-3}+\frac{y^{2}}{2 k-10}=1
Calcule o valor de k para que a referida equação torne-se:
(a) a equação de uma circunferência;
(b) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo x;
(c) a equação de uma elipse com as coordenadas dos focos no eixo y.
(d) a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo x.
(e) a equação de uma hipérbole com as coordenadas dos focos no eixo y.
(f) Um conjunto vazio.

Passo 1

O enunciado dá a curva em forma canônica
\frac{x^{2}}{k-3}+\frac{y^{2}}{2k-10}=1
e pede valores de k para que isso seja: circunferência, elipse (focos em x ou em y), hipérbole (focos em x ou em y) ou conjunto vazio. Vamos usar que
  1. É circunferência se os dois denominadores são iguais e positivos;
  2. É elipse se ambos os denominadores são positivos e distintos, e o eixo maior fica na direção do denominador maior;
  3. É hipérbole se os denominadores tiverem sinais opostos, ficando eixo transverso na direção do denominador positivo;
  4. É conjunto vazio se ambos os denominadores forem negativos (pois a soma de dois termos não positivos não alcança 1).

Passo 2

Para ser circunferência precisamos
k-3 = 2k-10 \quad\text{e}\quad k-3>0.
Da igualdade vem k=7, e aí k-3=4>0.

Passo 3

Para ser elipse com focos no eixo x exigimos
k-3>2k-10>0,
isto é, 2k-10>0\implies k>5 e k-3>2k-10\implies k<7. Logo
5<k<7.

Passo 4

Para ser elipse com focos no eixo y exigimos
2k-10>k-3>0,
isto é, k>3 e 2k-10>k-3\implies k>7. Como k>7 já garante k>3, temos
k>7.

Passo 5

Para ser hipérbole com focos no eixo x precisamos denom. de x positivo e de y negativo, ou seja
k-3>0 \quad\text{e}\quad 2k-10<0,
daí k>3 e k<5. Portanto
3<k<5.

Passo 6

Para ser hipérbole com focos no eixo y precisaríamos
k-3<0 \quad\text{e}\quad 2k-10>0,
isto é, k<3 e k>5, o que é impossível. Não há k satisfazendo.

Passo 7

Para o conjunto vazio pedimos ambos os denominadores negativos:
k-3<0 \quad\text{e}\quad 2k-10<0
isto é, k<3 e k<5, logo
k<3.

Resposta

(a) k=7
(b) 5<k<7
(c) k>7
(d) 3<k<5
(e) nenhum valor de k
(f) k<3

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