Identifique cada uma das superfícies e escreva na forma reduzida:
4 x^{2}-y^{2}+4 z^{2}-4=0

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície definida pela equação
4x^{2}-y^{2}+4z^{2}-4=0.
O conteúdo é identificação de superfícies quádricas: vamos reescrever essa equação na forma canônica reduzida e, a seguir, compará-la com as formas-padrão para decidir de que tipo de superfície se trata.

Passo 2

Primeiro, isolamos o termo constante e dividimos tudo por 4:
4x^{2}+4z^{2}-y^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{4x^{2}}{4}+\frac{4z^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=\frac{4}{4},
logo obtemos a forma
x^{2}+z^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1.

Passo 3

Na forma
\frac{x^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{4}=1
vemos que há dois termos com coeficiente positivo e um termo com coeficiente negativo, tudo igual a 1. Essa é a característica de um hiperbolóide de uma folha.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha, cuja forma reduzida é
\frac{x^{2}}{1}+\frac{z^{2}}{1}-\frac{y^{2}}{4}=1.

Exercícios relacionados