Considere um meio no qual
, mas onde a polarização
é uma função da posição e do tempo
. Demonstre que as equações de Maxwell são obtidas, corretamente, a partir de uma única função vetorial
(vetor de Hertz), onde
satisfaz
Passo 1
A questão pede para mostrar que, num meio sem cargas livres (ρ=0), sem correntes livres (J=0) e com μ=μ₀, mas com polarização P(r,t), todas as equações de Maxwell são obtidas a partir de um único vetor de Hertz Z que satisfaz a equação de onda vetorial
com
Vamos usar as identidades vetoriais
e as definições auxiliares:
D=ε₀E+P e H=B/μ₀.
D=ε₀E+P e H=B/μ₀.
Passo 2
Para a lei de Gauss eletrostática em termos de D devemos ter ∇·D=0. Começamos calculando
Usando
e
chegamos a
Logo,
que é a lei de Gauss correta.
Passo 3
Para a lei de Faraday precisamos mostrar que ∇×E=−∂B/∂t. Começamos de
Pela identidade
e tomando o rotacional da equação de onda para Z obtemos
Assim
Substituindo em ∇×E,
Logo a lei de Faraday está satisfeita.
Passo 4
A lei
decorre imediatamente de
, pois a divergência de um rotacional é sempre zero.
Passo 5
Para a lei de Ampère-Maxwell, calculamos
Como
tenho
Isso confirma a lei de Ampère-Maxwell.
Passo 6
Mostramos todas as quatro equações de Maxwell (Gauss para D, Faraday, Gauss para B e Ampère-Maxwell) a partir do vetor de Hertz Z dado, concluindo que o enunciado está correto.
Resposta
As quatro equações de Maxwell são satisfeitas pelas definições de E, B em termos de Z, ficando: