Considere um meio no qual rho=0, J=0, mu=mu0, mas onde a polarização P é uma função da posição e do tempo P=P(x, y, z, t). Demonstre que as equações de Maxwell são obtidas, corretamente, a partir de uma única função vetorial Z (vetor de Hertz), onde Z satisfaz
& nabla^2 Z-1c^2 partial^2 Zpartial t^2=-1epsilon0 P & E=nabla times nabla times Z-1epsilon0 P & B=1c^2 nabla times partial Zpartial t

Passo 1

A questão pede para mostrar que, num meio sem cargas livres (ρ=0), sem correntes livres (J=0) e com μ=μ₀, mas com polarização P(r,t), todas as equações de Maxwell são obtidas a partir de um único vetor de Hertz Z que satisfaz a equação de onda vetorial
nabla^2Z-1c^2partial^2Zpartial t^2=-1epsilon0P
com
E=nablatimesnablatimesZ-1epsilon0P, B=1c^2nablatimespartialZpartial t
Vamos usar as identidades vetoriais
nablacdot(nablatimesA)=0, nablatimes(nablatimesA)=nabla(nablacdotA)-nabla^2A
e as definições auxiliares:
D=ε₀E+P e H=B/μ₀.

Passo 2

Para a lei de Gauss eletrostática em termos de D devemos ter ∇·D=0. Começamos calculando
nablacdotE=nablacdot(nablatimesnablatimesZ)-1epsilon0nablacdotP
Usando nablacdot(nablatimescdot)=0 e
nablacdot(nablatimesnablatimesZ)=nablacdot[nabla(nablacdotZ)-nabla^2Z] =nabla^2(nablacdotZ)-nabla^2(nablacdotZ)=0,
chegamos a
nablacdotE=-1epsilon0nablacdotP
Logo,
nablacdotD=epsilon0nablacdotE+nablacdotP=0,
que é a lei de Gauss correta.

Passo 3

Para a lei de Faraday precisamos mostrar que ∇×E=−∂B/∂t. Começamos de
nablatimesE=nablatimes(nablatimesnablatimesZ)-1epsilon0nablatimesP
Pela identidade
nablatimes(nablatimesnablatimesZ)=nabla(nablacdotnablatimesZ)-nabla^2(nablatimesZ)=-nabla^2(nablatimesZ),
e tomando o rotacional da equação de onda para Z obtemos
nabla^2(nablatimesZ)-1c^2partial^2partial t^2(nablatimesZ)=-1epsilon0nablatimesP
Assim
-nabla^2(nablatimesZ)=1epsilon0nablatimesP-1c^2partial^2partial t^2(nablatimesZ)
Substituindo em ∇×E,
nablatimesE=-1c^2partial^2partial t^2(nablatimesZ)=-partialpartial tl(1c^2nablatimespartialZpartial tr)=-partialBpartial t
Logo a lei de Faraday está satisfeita.

Passo 4

A lei nablacdotB=0 decorre imediatamente de B=tfrac1c^2nablatimestfracpartialZpartial t, pois a divergência de um rotacional é sempre zero.

Passo 5

Para a lei de Ampère-Maxwell, calculamos
nablatimesH=1mu0nablatimesB=1mu0c^2nablatimesl(nablatimespartialZpartial tr) =epsilon0l[nabla(nablacdotpartialtZ)-nabla^2(partialtZ)r]
Como
nabla(nablacdotpartialtZ)-nabla^2(partialtZ)=partialt(nabla(nablacdotZ)-nabla^2Z)=partialt(nablatimesnablatimesZ),
tenho
nablatimesH=epsilon0partialpartial t(nablatimesnablatimesZ) =epsilon0partialEpartial t+partialPpartial t =partialDpartial t
Isso confirma a lei de Ampère-Maxwell.

Passo 6

Mostramos todas as quatro equações de Maxwell (Gauss para D, Faraday, Gauss para B e Ampère-Maxwell) a partir do vetor de Hertz Z dado, concluindo que o enunciado está correto.

Resposta

As quatro equações de Maxwell são satisfeitas pelas definições de E, B em termos de Z, ficando:

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