Mostre que para um gás ideal, o calor específico é independente do volume.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, no modelo de gás ideal, o calor específico a volume constante não depende do volume. Vamos usar o primeiro princípio da termodinâmica, a definição de calor específico e a propriedade de que a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura.
Passo 2
O primeiro princípio da termodinâmica diz que em um processo reversível
onde
. Portanto
Isso relaciona o calor trocado
, a variação da energia interna
e o trabalho
.
Passo 3
Definimos o calor específico a volume constante por
e o calor específico a pressão constante por
Mas, como queremos o comportamento em volume constante, focamos em
.
Passo 4
Num processo isocórico (
), o termo
some e temos
. Logo,
Ou seja, o calor específico a volume constante é simplesmente a variação da energia interna com a temperatura, mantendo
fixo.
Passo 5
Para um gás ideal vale o resultado experimental de Joule: a energia interna depende só da temperatura, não do volume. Matematicamente,
Isso implica que
sem qualquer dependência de
.
Passo 6
Como
é função apenas de
, a derivada
não envolve
. Portanto
depende só de
. Concluímos que o calor específico a volume constante de um gás ideal é inde-
pendente do volume.
pendente do volume.
Resposta
Para um gás ideal,
e como
, temos que
não depende de
.