Mostre que para um gás ideal, o calor específico é independente do volume.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, no modelo de gás ideal, o calor específico a volume constante não depende do volume. Vamos usar o primeiro princípio da termodinâmica, a definição de calor específico e a propriedade de que a energia interna de um gás ideal depende apenas da temperatura.

Passo 2

O primeiro princípio da termodinâmica diz que em um processo reversível
dU = de
onde de. Portanto
de
Isso relaciona o calor trocado de, a variação da energia interna dU e o trabalho p,dV.

Passo 3

Definimos o calor específico a volume constante por
CV = (de
e o calor específico a pressão constante por
Cp = (de
Mas, como queremos o comportamento em volume constante, focamos em CV.

Passo 4

Num processo isocórico ( dV=0), o termo p,dV some e temos de. Logo,
CV = (dUdT)V
Ou seja, o calor específico a volume constante é simplesmente a variação da energia interna com a temperatura, mantendo V fixo.

Passo 5

Para um gás ideal vale o resultado experimental de Joule: a energia interna depende só da temperatura, não do volume. Matematicamente,
(partial Upartial V)T = 0
Isso implica que
U = U(T)
sem qualquer dependência de V.

Passo 6

Como U é função apenas de T, a derivada (partial U/partial T)V não envolve V. Portanto
CV = dUdT
depende só de T. Concluímos que o calor específico a volume constante de um gás ideal é inde-
pendente do volume.

Resposta

Para um gás ideal, CV = (partial U/partial T)V e como U=U(T), temos que CV não depende de V.

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