Segundo a tabela de partículas elementares do Particle Data Group, edição de 2010, o múon tem uma vida média tau=2,19 times 10^-6 s (em repouso). Considere que ele incida na atmosfera terrestre com uma velocidade v / c=0,998. (a) Calcule o tempo de vida; (b) a distância percorrida do ponto de vista do referencial da Terra. Compare com a distância que ele iria percorre se os efeitos relativísticos fossem desconsiderados (x=v tau).

Passo 1

O enunciado: Um múon com vida média tau0 = 2,19 times 10^-6,s em repouso incide na atmosfera a v/c = 0,998. (a) Calcular o tempo de vida no referencial da Terra usando dilatação temporal; (b) calcular a distância percorrida nesse referencial e comparar com a distância clássica x = vtau0 sem efeitos relativísticos. Conteúdo: relatividade especial – dilatação do tempo.

Passo 2

Para calcular a dilatação temporal, usamos a fórmula da teoria da relatividade especial:
t = gamma , tau0
onde gamma = 1raiz1-beta^2 e beta = v/c.
Calcular gamma para beta = 0,998:
gamma = 1raiz1 - (0,998)^2 = 1raiz1 - 0,996004 = 1raiz0,003996 approx 15,82
Obter o tempo dilatado no referencial da Terra:
t = gamma , tau0 = 15,82 times 2,19times10^-6,s approx 3,47times10^-5,s

Passo 3

Calcular a distância percorrida na Terra: x = v t. Como v = 0,998,c e c = 3,0times10^8,m/s,
x = 0,998 times 3,0times10^8,m/s times 3,47times10^-5,s approx 1,04times10^4,m

Passo 4

Comparar com a distância clássica sem dilatação: xclássica = v , tau0á:
xclássica = 0,998 times 3,0times10^8,m/s times 2,19times10^-6,s approx 6,55times10^2,m á

Passo 5

Logo, com efeitos relativísticos o múon percorre cerca de 10,4 km, enquanto classicamente percorreria apenas 0,655 km.

Resposta

Tempo de vida dilatado: t approx 3,47times10^-5,s; distância relativística: x approx 1,04times10^4,m; distância clássica: xclássica approx 6,55times10^2,má.

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