As transformações de Lorentz podem ser escritas em termos da rapidez phi :
x^prime=x cosh phi-c t senh phi ; c t^prime=-x senh phi+c t cosh phi
Mostre que estas duas equações podem ser escritas como
c t^prime+x^prime=e^-phi(c t+x) ; c t^prime-x^prime=e^phi(c t-x)

Passo 1

Estamos trabalhando com as transformações de Lorentz em termos da rapidez phi, dadas por
x' = xcoshphi - ctsinhphi, ct' = -xsinhphi + ctcoshphi
Queremos mostrar que elas podem ser reescritas como
[
ct’ + x’ = e^{-\phi}(ct + x),
\quad
ct’ - x’ = e^{\phi}(ct - x).

Passo 2

Vamos somar as duas expressões originais:
ct' + x' = l(-xsinhphi + ctcoshphir) + l(xcoshphi - ctsinhphir)
Agrupando termos em ct e x:
ct' + x' = ct,(coshphi - sinhphi) + x,(coshphi - sinhphi) = (ct + x),(coshphi - sinhphi)

Passo 3

Usamos agora a identidade hiperbólica
coshphi - sinhphi = e^-phi
Substituindo na expressão acima, obtemos
ct' + x' = e^-phi(ct + x)

Passo 4

Para a segunda combinação, subtraímos x' de ct':
ct' - x' = l(-xsinhphi + ctcoshphir) - l(xcoshphi - ctsinhphir)
Agrupando de novo:
ct' - x' = ct,(coshphi + sinhphi) - x,(coshphi + sinhphi) = (ct - x),(coshphi + sinhphi)

Passo 5

Usamos agora a identidade
coshphi + sinhphi = e^phi
Logo,
ct' - x' = e^phi(ct - x)

Resposta

As expressões equivalentes são:
ct' + x' = e^-phi(ct + x), ct' - x' = e^phi(ct - x)

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