As transformações de Lorentz podem ser escritas em termos da rapidez
:
Mostre que estas duas equações podem ser escritas como
Passo 1
Estamos trabalhando com as transformações de Lorentz em termos da rapidez
, dadas por
Queremos mostrar que elas podem ser reescritas como
[
ct’ + x’ = e^{-\phi}(ct + x),
\quad
ct’ - x’ = e^{\phi}(ct - x).
ct’ + x’ = e^{-\phi}(ct + x),
\quad
ct’ - x’ = e^{\phi}(ct - x).
Passo 2
Vamos somar as duas expressões originais:
Agrupando termos em
e
:
Passo 3
Usamos agora a identidade hiperbólica
Substituindo na expressão acima, obtemos
Passo 4
Para a segunda combinação, subtraímos
de
:
Agrupando de novo:
Passo 5
Usamos agora a identidade
Logo,
Resposta
As expressões equivalentes são: