Um elétron no átomo de hidrogênio encontra-se em um estado descrito pela seguinte combinação linear de autoestados:
em que
representa o estado com número quânticos principal
, orbital
e magnético (
).
a) ( 1,5 pts) Calcule os valores esperados
e
para este estado. Expresse sua resposta em unidades de
.
b) ( 1 pt ) Se a medida da energia for realizada, quais valores poder ser obtidos e com quais probabilidades? Qual seria o estado do sistema imediatamente após uma medida que resultasse em
.
a) ( 1,5 pts) Calcule os valores esperados
b) ( 1 pt ) Se a medida da energia for realizada, quais valores poder ser obtidos e com quais probabilidades? Qual seria o estado do sistema imediatamente após uma medida que resultasse em
Passo 1
O enunciado dá o estado inicial do elétron no átomo de hidrogênio como uma combinação linear
onde
são autoestados simultâneos (ortogonais) de
,
e da energia com número quântico principal
, orbital
e magnético
. Informações relevantes que temos e perguntas pedidas:
- Todos os três termos têm
. - Os pares
são: , e . - Pressupomos (padrão em mecânica quântica) que
são amplitudes complexas que satisfazem a condição de normalização
caso o estado esteja normalizado.
- Perguntas:
a) Calcular os valores esperadose para esse estado, expressando a resposta em unidades de .
b) Se medir a energia, quais valores podem ser obtidos e com quais probabilidades? Qual é o estado imediatamente após uma medida que resulta em?
Passo 2
Relembrando propriedades úteis (aula rápida e concreta):
- Os autoestados
têm autovalores bem conhecidos para os operadores angulares:
onde
é a constante reduzida,
. Aqui
e
são inteiros com
.
- Autoestados com pares
diferentes são ortogonais, ou seja, se . Isso faz com que, ao calcular expectativa de um operador que é diagonal nesses autoestados (como e ), os termos cruzados se anulam e ficamos com soma ponderada dos autovalores por . - Energia do átomo de hidrogênio (modelo de Bohr / solução de Schrödinger sem spin/relatividade) depende somente de
:
Passo 3
Vamos aplicar essas fórmulas ao nosso estado componente a componente:
- Para
: então tem autovalor . Para : então autovalor . - Para
: então tem autovalor . Para : então autovalor . - Para
: então tem autovalor . Para : então autovalor .
Passo 4
Cálculo do valor esperado
. Usando ortogonalidade e linearidade da expectativa:
Agora expressamos em unidades de
. Como
, temos
. Substituindo:
Comentário didático: se
e
fossem tais que
(ou seja,
), então
, que é o valor esperado de um estado com
. Se ao contrário
e
, então
(estado
puro).
Passo 5
Cálculo do valor esperado
. Novamente, termos cruzados se anulam:
Expressando em unidades de
:
Comentário didático:
mede a componente
do momento angular; apenas a parcela com
(aqui o termo com
) contribui ao valor esperado.
Passo 6
Agora a parte (b) sobre medidas de energia. Usando a fórmula da energia do nível
:
Aqui todos os termos do estado têm
, portanto todos correspondem ao mesmo valor de energia
Como o estado inicial está inteiramente dentro do subespaço de energia
, uma medida da energia sempre dará
com probabilidade
.
Passo 7
Estado imediatamente após uma medida que resultou em
. Regras de colapso:
- Se a medida encontra um valor de energia correspondente a um subespaço degenerado, o estado após a medida é a projeção do estado inicial sobre esse subespaço, normalizada.
- Aqui o subespaço de
contém exatamente os três vetores que aparecem na combinação (porque todos têm ), então a projeção do estado inicial sobre o subespaço é o próprio estado inicial. Logo, após a medida o estado permanece (até uma fase global irrelevante) igual a
assumindo que o estado já estava normalizado. Se
não estiverem normalizados, o estado pós-medida seria a versão normalizada da projeção (mas aqui, pela escrita do enunciado, tomamos a forma genérica já).
Resposta
Medida de energia: apenas
Estado após medir