Considere um método com ordem de convergência
. Se
tiver
-dígitos decimais de precisão, quantos dígitos decimais de precisão aproximado esperaria de
?
Passo 1
O problema diz que temos um método iterativo de ordem de convergência p=1.3 e que em x_n já chegamos a k dígitos decimais corretos. Queremos estimar quantos dígitos teremos em x_{n+3}. Vamos usar teoria de ordem de convergência e relação entre erro e número de dígitos.
Passo 2
Para métodos de ordem p vale, localmente, que o erro satisfaz
onde e_n=x_n−x^* é o erro na iteração n e C é uma constante. Além disso, o número de dígitos decimais corretos em x_n está dado por
Passo 3
Aplicando três iterações em cascata, temos
Tomando -log₁₀ de ambos os lados e lembrando que -log₁₀(C{1+p+p2}) é apenas uma constante de menor influência para k grande, obtemos
Passo 4
Portanto, o número de dígitos decimais corretos em x_{n+3} cresce aproximadamente como p^3·k. Como p=1.3, temos p3=1.33≈2.197, ou seja, x_{n+3} terá cerca de 2.197·k dígitos decimais de precisão.
Resposta
Cerca de p^3⋅k dígitos, isto é, cerca de (1.3)^3⋅k≈2.197⋅k dígitos decimais de precisão.