Considere um método com ordem de convergência p=1.3. Se xn tiver k-dígitos decimais de precisão, quantos dígitos decimais de precisão aproximado esperaria de xn+3 ?

Passo 1

O problema diz que temos um método iterativo de ordem de convergência p=1.3 e que em x_n já chegamos a k dígitos decimais corretos. Queremos estimar quantos dígitos teremos em x_{n+3}. Vamos usar teoria de ordem de convergência e relação entre erro e número de dígitos.

Passo 2

Para métodos de ordem p vale, localmente, que o erro satisfaz
en+1 approx C,en^p
onde e_n=x_n−x^* é o erro na iteração n e C é uma constante. Além disso, o número de dígitos decimais corretos em x_n está dado por
kapprox -log10(en)

Passo 3

Aplicando três iterações em cascata, temos
en+3approx C^1+p+p^2,en^p^3
Tomando -log₁₀ de ambos os lados e lembrando que -log₁₀(C{1+p+p2}) é apenas uma constante de menor influência para k grande, obtemos
-log10(en+3) approx p^3l(-log10(en)r) = p^3,k

Passo 4

Portanto, o número de dígitos decimais corretos em x_{n+3} cresce aproximadamente como p^3·k. Como p=1.3, temos p3=1.33≈2.197, ou seja, x_{n+3} terá cerca de 2.197·k dígitos decimais de precisão.

Resposta

Cerca de p^3⋅k dígitos, isto é, cerca de (1.3)^3⋅k≈2.197⋅k dígitos decimais de precisão.

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