Considere o sistema A x=b com cccc2 & 0 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 2 & 0 & 1 & 2 0 & 1 & 0 & -2.
(a) O Sistema A x=b sempre tem uma única solução?
(b) Pode resolver o sistema usando a eliminação de Gauss sem pivoteamento?
© Pode resolver o sistema com a eliminação de Gauss com pivoteamento?
(d) É possível resolver com a decomposição L.U. sem pivoteamento?

Passo 1

O enunciado pede para analisar a matriz
A= 2 & 0 & 0 & 0 1 & -1 & 1 & 0 2 & 0 & 1 & 2 0 & 1 & 0 & -2
e responder: (a) existência e unicidade de solução, (b) eliminação sem pivoteamento, © eliminação com pivoteamento e (d) decomposição LU sem pivoteamento. Vamos precisar de determinantes, checar pivôs na eliminação e analisar menores principais para LU.

Passo 2

Calculamos o determinante de A para ver se ela é invertível. Como o primeiro elemento é A_{11}=2, removemos a primeira linha e coluna para obter B= -1 & 1 & 00 & 1 & 21 & 0 & -2
Determinante de B via expansão na primeira linha:
det(B)=(-1)cdotl(1cdot(-2)-2cdot0r)-1cdotl(0cdot(-2)-2cdot1r)=(-1)(-2)-1(-2)=2+2=4
Logo det(A)=2cdot4=8neq0, então A é invertível e o sistema sempre tem solução única.

Passo 3

Para a eliminação de Gauss sem pivoteamento, checamos os pivôs sucessivos:
A11=2neq0,
após eliminar abaixo de A_{11} obtemos na segunda etapa A^(1)22=-1, depois A^(2)33=1 e por fim A^(3)44=-4, todos não nulos. Assim não precisamos trocar linhas e a eliminação sem pivoteamento funciona.

Passo 4

Como a eliminação sem pivoteamento já deu certo, obrigatoriamente a eliminação com pivoteamento também funciona (o pivoteamento é uma ferramenta extra). Portanto é possível aplicar Gauss com pivoteamento.

Passo 5

Para ter decomposição LU sem pivoteamento precisamos que todos os menores principais de ordem 1,2,3 sejam não nulos. Calculamos:
m1=2, m2=det2&01&-1=-2, m3=det2&0&01&-1&12&0&1=-2,
e já vimos det(A)=8. Todos são não nulos, logo existe LU sem pivoteamento.

Resposta

(a) Sim, pois det(A)=8neq0. (b) Sim, nenhum pivô fica zero. © Sim, é trivial quando sem pivoteamento já funciona. (d) Sim, todos os menores principais são não nulos, logo existe LU sem pivoteamento.

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