Calculamos o determinante de A para ver se ela é invertível. Como o primeiro elemento é A_{11}=2, removemos a primeira linha e coluna para obter B=-1 & 1 & 00 & 1 & 21 & 0 & -2
Determinante de B via expansão na primeira linha: det(B)=(-1)cdotl(1cdot(-2)-2cdot0r)-1cdotl(0cdot(-2)-2cdot1r)=(-1)(-2)-1(-2)=2+2=4
Logo det(A)=2cdot4=8neq0, então A é invertível e o sistema sempre tem solução única.
Passo 3
Para a eliminação de Gauss sem pivoteamento, checamos os pivôs sucessivos:
A11=2neq0,
após eliminar abaixo de A_{11} obtemos na segunda etapa A^(1)22=-1, depois A^(2)33=1 e por fim A^(3)44=-4, todos não nulos. Assim não precisamos trocar linhas e a eliminação sem pivoteamento funciona.
Passo 4
Como a eliminação sem pivoteamento já deu certo, obrigatoriamente a eliminação com pivoteamento também funciona (o pivoteamento é uma ferramenta extra). Portanto é possível aplicar Gauss com pivoteamento.
Passo 5
Para ter decomposição LU sem pivoteamento precisamos que todos os menores principais de ordem 1,2,3 sejam não nulos. Calculamos:
m1=2, m2=det2&01&-1=-2, m3=det2&0&01&-1&12&0&1=-2,
e já vimos det(A)=8. Todos são não nulos, logo existe LU sem pivoteamento.