Seja f(x)=x-2 sen x.
(a) Obtenha o intervalo que contém um dos raízes diferente de zero.
(b) Para este intervalo, quantos passos do método de bisseç̧ão são necessários para ter uma precisão de 4 dígitos decimais de precisão?

Passo 1

A questão pede para a gente estudar a função f(x)=x-2sin x e (a) encontrar um intervalo que contenha uma raiz diferente de zero e (b) determinar quantos passos do método da bisseção são necessários para obter 4 dígitos decimais de precisão.

Passo 2

Para achar um intervalo com mudança de sinal, avaliamos f em alguns pontos chave. Primeiro em x=pi2 e em x=pi:
fl(tfracpi2r)=tfracpi2-2sinl(tfracpi2r)=tfracpi2-2approx1,5708-2<0,
f(pi)=pi-2sinpi=pi-0>0

Passo 3

Como f(tfracpi2)<0 e f(pi)>0, concluímos que há uma raiz em
l[tfracpi2,,pir]

Passo 4

Para garantir 4 dígitos decimais, queremos o erro da bisseção menor que 10^-4. No método da bisseção, se o intervalo inicial é [a,b], basta ter
b-a2^n<10^-4

Passo 5

Aqui temos b-a=pi-tfracpi2=tfracpi2. Logo
2^n>pi/210^-4= 1,570810^-4approx15708
e tomando logaritmo base 2:
n>log2(15708)approx13,94,
ou seja, o menor n inteiro que satisfaz é n=14.

Resposta

(a) [tfracpi2,,pi]
(b) 14 passos do método da bisseção para 4 dígitos decimais de precisão

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