1. Considere um micro-organismo que segue a cinética de Monod, sendo \mu \mathrm{m}=0,5 \mathrm{~h}^{-1} e ks =2 \mathrm{~g} / \mathrm{L}. Em um reator continuo, perfeitamente agitado em estado estacionário, \mathrm{S} 0=50 \mathrm{g} / \mathrm{L} e \mathrm{YX} / \mathrm{S}=1 \mathrm{~g} / \mathrm{g}. Qual será a velocidade de diluição, sob a qual se deve operar o reator, para obter a máxima produção de células?
    \mathrm{R}: \mathrm{D}_{\text {máx }}=0,25 \mathrm{~h}^{-1}á

Passo 1

O enunciado diz que temos um quimiostato (reator contínuo, perfeitamente agitado) em regime estacionário, com microrganismo seguindo cinética de Monod. Os dados são:
- taxa máxima de crescimento \mu_m=0{,}5\:\mathrm{h^{-1}}
- constante de semissaturação K_s=2\:\mathrm{g/L}
- concentração de substrato na alimentação S_0=50\:\mathrm{g/L}
- rendimento de biomassa Y_{X/S}=1\:\mathrm{g\;X/g\;S}
Queremos achar a vazão de diluição D que maximiza a produção de células. Para isso vamos usar:
  1. Balanço de massa no estado estacionário para substrato e biomassa.
  2. Expressão da produtividade de células P_X = D\cdot X.
  3. Otimização de P_X em função de D.

Passo 2

No estado estacionário de um quimiostato com cinética de Monod vale:
S = \frac{K_s\,D}{\mu_m - D}
e a concentração de biomassa é dada pelo balanço de substrato:
X = Y_{X/S}\,(S_0 - S).
Aqui S é a concentração residual de substrato no reator, e X é a concentração de biomassa.

Passo 3

A produção volumétrica de biomassa (produtividade) é
P_X = D\,X = D\,Y_{X/S}\,\Bigl(S_0 - \frac{K_s\,D}{\mu_m - D}\Bigr).
Queremos escolher D que maximize P_X.

Passo 4

Como S_0=50\gg K_s=2, a fração de substrato consumido no reator é muito pequena comparada a S_0, podemos aproximar
X \approx Y_{X/S}\,S_0\Bigl(1 - \frac{D}{\mu_m}\Bigr)
e então
P_X \approx D\,Y_{X/S}\,S_0\Bigl(1 - \frac{D}{\mu_m}\Bigr) = Y_{X/S}\,S_0\Bigl(D - \frac{D^2}{\mu_m}\Bigr).

Passo 5

Para maximizar P_X em função de D, igualamos a derivada a zero:
\frac{dP_X}{dD} = Y_{X/S}\,S_0\Bigl(1 - \frac{2D}{\mu_m}\Bigr) \stackrel{!}{=}0 \quad\Longrightarrow\quad 1 - \frac{2D}{\mu_m}=0 \quad\Longrightarrow\quad D = \frac{\mu_m}{2}.
Substituindo \mu_m=0{,}5\:\mathrm{h^{-1}}:
D_{\max} = \frac{0{,}5}{2} = 0{,}25\:\mathrm{h^{-1}}.

Resposta

D_{\max} = 0{,}25\:\mathrm{h^{-1}}

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