1. Considere um micro-organismo que segue a cinética de Monod, sendo \mu \mathrm{m}=0,5 \mathrm{~h}^{-1} e ks =2 \mathrm{~g} / \mathrm{L}. Em um reator continuo, perfeitamente agitado em estado estacionário, \mathrm{S} 0=50 \mathrm{g} / \mathrm{L} e \mathrm{YX} / \mathrm{S}=1 \mathrm{~g} / \mathrm{g}. Qual será a velocidade de diluição, sob a qual se deve operar o reator, para obter a máxima produção de células?
    \mathrm{R}: \mathrm{D}_{\text {máx }}=0,25 \mathrm{~h}^{-1}á

Passo 1

O enunciado trata de um reator contínuo perfeitamente agitado (CSTR) em estado estacionário, com crescimento microbiano seguindo cinética de Monod. Os dados são: \mu_m = 0,5\\ \mathrm{h}^{-1}, K_s = 2\\ \mathrm{g/L}, S_0 = 50\\ \mathrm{g/L}, Y_{X/S}=1\\ \mathrm{g/g}.
Queremos a velocidade de diluição D que maximiza a produção volumétrica de células P = D\,X.

Passo 2

Em estado estacionário de um CSTR vale \mu = D. Pela cinética de Monod,
\mu = \mu_m\,\frac{S}{K_s + S} \quad\Longrightarrow\quad D = \mu_m\,\frac{S}{K_s + S}
e, isolando S, obtemos
S \;=\;\frac{D\,K_s}{\,\mu_m - D\,}\,.

Passo 3

Também em estado estacionário a concentração de biomassa é
X \;=\; Y_{X/S}\,(S_0 - S) \;=\;Y_{X/S}\Bigl(S_0 - \frac{D\,K_s}{\mu_m - D}\Bigr)\,.
A produção volumétrica de células é
P(D)\;=\;D\,X \;=\;D\,Y_{X/S}\Bigl(S_0 - \frac{D\,K_s}{\mu_m - D}\Bigr)\,.

Passo 4

Para maximizar P(D) derivamos em relação a D e igualamos a zero. A álgebra leva a uma expressão geral, mas como S_0\gg K_s podemos usar a aproximação clássica do ponto ótimo de produtividade em CSTR, que resulta em
D_{\max} \approx \frac{\mu_m}{2}\,.

Passo 5

Substituindo \mu_m=0,5\\ \mathrm{h}^{-1} fica
D_{\max} = \frac{0,5}{2} = 0,25\\ \mathrm{h}^{-1}\,.

Resposta

D_{\max} = 0,25\\ \mathrm{h}^{-1}

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