( 3,0 pontos) Um fio com diámetro de 3 mm está submetido a uma taxa de geraçăo de calor de 560,2 \mathrm{MW} / \mathrm{m}^{3} e encontra-se submerso em um liquido a 110^{\circ} \mathrm{C} com um coeficiente de transferência de calor por conveçăo de h=4000 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a temperatura central do fio.

Passo 1

Temos um fio cilíndrico de diâmetro 3\:\text{mm} (logo raio R=1{,}5\:\text{mm}=1{,}5\times10^{-3}\:\text{m}), com geração volumétrica de calor \dot q'''=560{,}2\times10^{6}\:\mathrm{W/m^{3}}, imerso em líquido a T_\infty=110\:^ \circ\mathrm{C} e coeficiente de convecção h=4000\:\mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}. No regime estacionário, a solução da equação de condução radial com geração interna e convecção na superfície leva à expressão da temperatura no centro
T_0 \;=\; T_\infty \;+\;\frac{\dot q'''\,R}{2\,h}\;+\;\frac{\dot q'''\,R^2}{4\,k}\,,
onde k é a condutividade térmica do material do fio.

Passo 2

Percebe-se que o valor de k não foi fornecido no enunciado e é imprescindível para calcular tanto o termo \displaystyle \frac{\dot q'''\,R^2}{4\,k} quanto a própria distribuição de temperatura.

Resposta

Não é possível determinar a temperatura central do fio sem o valor da condutividade térmica k.

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