Considere o modelo do hiperboloide para geometria hiperbólica. Sejam p1, p2, p3 in H^n e d1= d(p1, p2), d2=d(p2, p3), d3=d(p3, p1). Considere
De<a=det[ccc -1 & cosh d1 & cosh d3 cosh d1 & -1 & cosh d2 cosh d3 & cosh d2 & -1 ]
Deduza a partir do ítem anterior a desigualdade triangular.

Passo 1

O enunciado usa o modelo do hiperboloide em com métrica de Minkowski para definir
onde e é o determinante da matriz de Gram
Pelo item anterior sabemos que esse determinante satisfaz . A partir daí vamos extrair a desigualdade triangular .

Passo 2

Defina
a=cosh d1, b=cosh d2, c=cosh d3
Calcula-se diretamente
De<a =1+2abc-(a^2+b^2+c^2)
Logo a condição De<a<=0 vira
1+2abc ;<=; a^2+b^2+c^2

Passo 3

Reescrevendo essa desigualdade temos
a^2+b^2+c^2-2abc-1;>=;0 Long<=ftrightarrow (a-bc)^2 ;<=;(b^2-1)(c^2-1)
Mas b^2-1=sinh^2 d2 e c^2-1=sinh^2 d3, de modo que
|a - bc|;<=;sinh d2,sinh d3

Passo 4

Como a,b,c>0 então a<= bc+sinh d2sinh d3. Substituindo de volta,
cosh d1;<=;cosh d2cosh d3+sinh d2sinh d3 =coshl(d2+d3r)
Finalmente, como a função cosh é estritamente crescente em [0,infty), segue
d1;<=;d2+d3

Resposta

Mostramos que
dl(p1,p2r);<=;dl(p2,p3r) + dl(p3,p1r),
isto é, a desigualdade triangular em H^n.

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