Considere o modelo do hiperboloide para geometria hiperbólica. Sejam
e
. Considere
Deduza a partir do ítem anterior a desigualdade triangular.
Passo 1
O enunciado usa o modelo do hiperboloide em com métrica de Minkowski para definir
onde
e
é o determinante da matriz de Gram
Pelo item anterior sabemos que esse determinante satisfaz
. A partir daí vamos extrair a desigualdade triangular
.
Passo 2
Defina
Calcula-se diretamente
Logo a condição
De<a<=0 vira
Passo 3
Reescrevendo essa desigualdade temos
Mas
b^2-1=sinh^2 d2 e
c^2-1=sinh^2 d3 , de modo que
Passo 4
Como
a,b,c>0 então
a<= bc+sinh d2sinh d3 . Substituindo de volta,
Finalmente, como a função
cosh é estritamente crescente em
[0,infty) , segue
Resposta
Mostramos que
isto é, a desigualdade triangular em
H^n .