Mostre que para qualquer triângulo hiperbólico com ângulos internos iguais a
, vale que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, em qualquer triângulo hiperbólico com ângulos internos
, vale
O conteúdo usado será o Teorema de Gauss–Bonnet para regiões geodésicas no plano hiperbólico de curvatura constante
.
Passo 2
O Teorema de Gauss–Bonnet diz que, para uma região
de contorno formado por geodésicas,
Aqui:
-
é a curvatura do plano hiperbólico, - as arestas são geodésicas, logo a curvatura geodésica
, - em cada vértice, o ângulo externo é
.
Passo 3
Para nosso triângulo, chamando
sua área, temos
e a soma dos ângulos externos é
Substituindo em Gauss–Bonnet:
Resolvendo para
, obtemos
Passo 4
Como
(área de um triângulo hiperbólico é positiva), segue