Mostre que para qualquer triângulo hiperbólico com ângulos internos iguais a alpha, beta, gamma, vale que alpha+ beta+gamma<pi.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, em qualquer triângulo hiperbólico com ângulos internos alpha,beta,gamma, vale
alpha + beta + gamma < pi
O conteúdo usado será o Teorema de Gauss–Bonnet para regiões geodésicas no plano hiperbólico de curvatura constante K=-1.

Passo 2

O Teorema de Gauss–Bonnet diz que, para uma região R de contorno formado por geodésicas,
integralR K,dA ;+;sumarestas integral kg,ds ;+;sumvértices thetaext ;=;2pi é
Aqui:
  • K=-1 é a curvatura do plano hiperbólico,
  • as arestas são geodésicas, logo a curvatura geodésica kg=0,
  • em cada vértice, o ângulo externo é thetaext=pi-thetaint.

Passo 3

Para nosso triângulo, chamando A sua área, temos
integralRK,dA = integralR(-1),dA = -A,
e a soma dos ângulos externos é
sum thetaext = (pi-alpha)+(pi-beta)+(pi-gamma) = 3pi - (alpha+beta+gamma)
Substituindo em Gauss–Bonnet:
- A ;+;0 ;+;l[3pi - (alpha+beta+gamma)r] ;=;2pi
Resolvendo para A, obtemos
A = pi - (alpha+beta+gamma)

Passo 4

Como A>0 (área de um triângulo hiperbólico é positiva), segue
pi - (alpha+beta+gamma)>0 Longrightarrow alpha+beta+gamma<pi

Resposta

alpha+beta+gamma<pi

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