Seja lang<=rang<=:, R^n R uma forma bilinear em R^n. Considere a seguinte aplicação rho: R^n (R^n)^*, dada por
rho(x)(y)=lang<= x, yrang<=
Mostre que rho é um isomorfismo se, e somente se, a forma lang<=, rang<= é não-degenerada.

Passo 1

O enunciado define uma forma bilinear
lang<=cdot,cdotrang<=:R^ntimesR^ntoR
e a aplicação
rho:R^nto(R^n)^*,rho(x)(y)=lang<= x,yrang<=
O objetivo é mostrar que rho é isomorfismo de espaços vetoriais exatamente quando a forma bilinear é não--degenerada (isto é, lang<= x,yrang<==0 para todo y implica x=0).

Passo 2

Primeiro, verificamos que rho é linear. Dados x,x'inR^n e escalares a,binR, para todo yinR^n temos
rho(ax+bx')(y) =lang<= ax+bx',,yrang<= =a,lang<= x,yrang<=+b,lang<= x',yrang<= =a,rho(x)(y)+b,rho(x')(y),
logo rho(ax+bx')=a,rho(x)+b,rho(x').

Passo 3

O núcleo de rho é
kerrho =,xinR^nmidrho(x)=0 =,xmidrho(x)(y)=0 forall y =,xmidlang<= x,yrang<==0 forall y
Por definição, a forma é não–degenerada se este conjunto for apenas 0. Logo
kerrho=0 Long<=ftrightarrow lang<=cdot,cdotrang<= é nãode>=nerada éã

Passo 4

Sabendo que dimR^n=n e que dim(R^n)^*=n, uma aplicação linear entre espaços de mesma dimensão é isomorfismo se, e somente se, for injetora (ou equivalentemente sobrejetora). Portanto,
kerrho=0 Long<=ftrightarrow rho é injetora Long<=ftrightarrow rho é isomorfismo éé

Resposta

A aplicação rho é isomorfismo se, e somente se, kerrho=0, que é exatamente a condição de não–degenerescência da forma bilinear lang<=cdot,cdotrang<=.

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