Seja
uma forma bilinear em
. Considere a seguinte aplicação
, dada por
Mostre que
é um isomorfismo se, e somente se, a forma
,
é não-degenerada.
Passo 1
O enunciado define uma forma bilinear
e a aplicação
e a aplicação
O objetivo é mostrar que
é isomorfismo de espaços vetoriais exatamente quando a forma bilinear é não--degenerada (isto é,
para todo
implica
).
Passo 2
Primeiro, verificamos que
é linear. Dados
e escalares
, para todo
temos
logo
.
Passo 3
O núcleo de
é
Por definição, a forma é não–degenerada se este conjunto for apenas
. Logo
Passo 4
Sabendo que
e que
, uma aplicação linear entre espaços de mesma dimensão é isomorfismo se, e somente se, for injetora (ou equivalentemente sobrejetora). Portanto,
Resposta
A aplicação
é isomorfismo se, e somente se,
, que é exatamente a condição de não–degenerescência da forma bilinear
.