Considere o modelo do hiperboloide para geometria hiperbólica. Sejam p1, p2, p3 in H^n e d1= d(p1, p2), d2=d(p2, p3), d3=d(p3, p1). Considere
De<a=det[ccc -1 & cosh d1 & cosh d3 cosh d1 & -1 & cosh d2 cosh d3 & cosh d2 & -1 ]
Mostre que De<a <= 0.

Passo 1

O enunciado trabalha com o modelo do hiperboloide em equipado com o produto de Minkowski
onde
e a distância hiperbólica satisfaz
Dados três pontos e , definimos
Queremos mostrar que .

Passo 2

Definimos a matriz de Gram M=(Mij) dos vetores p1,p2,p3 pelo produto de Minkowski:
Mij=lang<= pi,pjrang<=
Como lang<= pi,pirang<==-1 e lang<= pi,pjrang<==-cosh dk para ineq j, onde dk é a distância correspondente, obtemos
M= -1 & -cosh d1 & -cosh d3 -cosh d1 & -1 & -cosh d2 -cosh d3 & -cosh d2 & -1

Passo 3

Observamos que a matriz alvo
B= -1 & cosh d1 & cosh d3 cosh d1 & -1 & cosh d2 cosh d3 & cosh d2 & -1
é obtida de M por congruência com a diagonal
D=diag(1,1,-1),
isto é,
B=D,M,D

Passo 4

Como det(D)^2=1, a congruência preserva determinante e temos
De<a=det(B)=det(D),det(M),det(D)=det(M)

Passo 5

A matriz M é a matriz de Gram de três vetores em espaço de assinatura (1,n). Numa subespaço de dimensão <=3 o produto de Minkowski admite no máximo um autovalor negativo e os demais não-negativos. Logo, o produto dos três autovalores (isto é, det(M)) é menor ou igual a zero. Em caso de independência linear temos exatamente um autovalor negativo e dois positivos, dando det(M)<0; se os vetores forem lineares dependentes, det(M)=0.

Passo 6

Concluímos que
De<a=det(B)=det(M)<=0

Resposta

De<a<=0.

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