Mostre que
é a geodésica que liga
, sendo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, no modelo do hiperboloide
a curva
com
definido por
é de fato a geodésica uníssono que liga
a
. Vamos precisar usar:
- O fato de que
e . - As identidades hiperbólicas
e . - Que em subvariedades do hiperboloide uma curva é geodésica se a componente tangencial de sua aceleração se anula, isto é,
.
Passo 2
Verificamos as condições de contorno:
e
e
Passo 3
Mostramos que
permanece em
, ou seja
Substituindo
e
, e usando
,
obtém-se
obtém-se
Passo 4
Calculemos a segunda derivada em
. Como
e
, segue
Passo 5
Da identidade
obtemos
. Diferenciando:
. Mas
, logo
.
Isto mostra que tem velocidade unitária. Além disso, como
é paralelo a
(normal ao espaço tangente), a parte tangencial de
é zero, ou seja
. Portanto
é geodésica.
Isto mostra que
Resposta
Concluímos que
é exatamente a geodésica unitária de
que liga
a
.