Mostre que gamma(t)=sinh (d-t)sinh d p1+sinh (t)sinh d p2 é a geodésica que liga p1, p2 in H^n, sendo d=d(p1, p2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, no modelo do hiperboloide
H^n=xin R^n+1midlang<= x,xrang<==-1,;x0>0,
a curva
gamma(t)=sinh(d-t)sinh d,p1+sinh tsinh d,p2,
com d=d(p1,p2) definido por
cosh d=-lang<= p1,p2rang<=,
é de fato a geodésica uníssono que liga p1 a p2. Vamos precisar usar:
  1. O fato de que lang<= pi,pirang<==-1 e lang<= p1,p2rang<==-cosh d.
  2. As identidades hiperbólicas cosh^2x-sinh^2x=1 e cosh(a+b)=cosh acosh b+sinh asinh b.
  3. Que em subvariedades do hiperboloide uma curva é geodésica se a componente tangencial de sua aceleração se anula, isto é, nabladotgammadotgamma=0.

Passo 2

Verificamos as condições de contorno:
gamma(0)=tfracsinh dsinh d,p1+0,p2=p1
e
gamma(d)=0,p1+tfracsinh dsinh d,p2=p2

Passo 3

Mostramos que gamma(t) permanece em H^n, ou seja
lang<=gamma,gammarang<= =l(tfracsinh(d-t)sinh dr)^2lang<= p1,p1rang<= +2,sinh(d-t)sinh tsinh^2 dlang<= p1,p2rang<= +l(tfracsinh tsinh dr)^2lang<= p2,p2rang<=
Substituindo lang<= pi,pirang<==-1 e lang<= p1,p2rang<==-cosh d, e usando
sinh^2(d-t)+sinh^2 t+2sinh(d-t)sinh tcosh d=sinh^2 d,
obtém-se
lang<=gamma,gammarang<= =-sinh^2(d-t)+sinh^2 t+2sinh(d-t)sinh tcosh dsinh^2 d =-1

Passo 4

Calculemos a segunda derivada em t. Como
tfracd^2dt^2sinh(d-t)=sinh(d-t) e
tfracd^2dt^2sinh t=sinh t, segue
gamma''(t) =sinh(d-t)sinh d,p1 +sinh tsinh d,p2 =gamma(t)

Passo 5

Da identidade lang<=gamma,gammarang<==-1 obtemos
lang<=gamma',gammarang<==0. Diferenciando:
lang<=gamma'',gammarang<=+lang<=gamma',gamma'rang<==0. Mas gamma''=gamma, logo
lang<=gamma',gamma'rang<==-lang<=gamma,gammarang<==1.
Isto mostra que gamma tem velocidade unitária. Além disso, como
gamma'' é paralelo a gamma (normal ao espaço tangente), a parte tangencial de gamma'' é zero, ou seja
nablagamma'gamma'=0. Portanto gamma é geodésica.

Resposta

Concluímos que
gamma(t)=sinh(d-t)sinh d,p1+sinh tsinh d,p2
é exatamente a geodésica unitária de H^n que liga p1 a p2.

Exercícios relacionados