Seja lang<=rang<=:, R^n R uma forma bilinear em R^n. Considere a seguinte aplicação rho: R^n (R^n)^*, dada por
rho(x)(y)=lang<= x, yrang<=
Mostre que lang<=, rang<= é não-de>=nerada se, e somente se, o seu indíce de inércia é 0éãíéé.

Passo 1

O enunciado dá uma forma bilinear
lang<=cdot,cdotrang<=:R^ntimesR^ntoR
e a aplicação linear
rho:R^nto(R^n)^*, rho(x)(y)=lang<= x,yrang<=
Queremos mostrar que lang<=cdot,cdotrang<= é não-degenerada exatamente quando o seu índice de inércia é 0. Vamos precisar usar a definição de não-degenerescência (radical trivial) e a definição de índice de inércia (nullidade da forma).

Passo 2

Definimos o radical (ou núcleo) da forma bilinear como
Rad(lang<=cdot,cdotrang<=) =,xinR^nmidlang<= x,yrang<==0forall,yinR^n
Por outro lado, pela definição de rho,
kerrho =,xinR^nmidrho(x)=0 =,xinR^nmidrho(x)(y)=0;forall y =,xmidlang<= x,yrang<==0;forall y,
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kerrho=Rad(lang<=cdot,cdotrang<=)

Passo 3

A forma lang<=cdot,cdotrang<= é dita não-degenerada se e somente se
Rad(lang<=cdot,cdotrang<=)=0
Em termos de rho, isso significa
kerrho=0,
ou seja, rho é injetora.

Passo 4

O índice de inércia de uma forma bilinear, no sentido da componente “nula” da assinatura de Sylvester, é justamente
diml(Rad(lang<=cdot,cdotrang<=)r)
Em outras palavras, é a dimensão do núcleo da forma.

Passo 5

Portanto, juntar tudo dá:
lang<=cdot,cdotrang<= não-degenerada
iffRad(lang<=cdot,cdotrang<=)=0
iffdiml(Rad(lang<=cdot,cdotrang<=)r)=0.
Mas esse último número é exatamente o índice de inércia.

Resposta

A forma bilinear é não-degenerada se, e somente se, seu índice de inércia (a dimensão do seu radical) é 0.

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