Seja
uma forma bilinear em
. Considere a seguinte aplicação
, dada por
Mostre que
,
.
Passo 1
O enunciado dá uma forma bilinear
e a aplicação linear
e a aplicação linear
Queremos mostrar que
é não-degenerada exatamente quando o seu índice de inércia é
. Vamos precisar usar a definição de não-degenerescência (radical trivial) e a definição de índice de inércia (nullidade da forma).
Passo 2
Definimos o radical (ou núcleo) da forma bilinear como
Por outro lado, pela definição de
,
logo
Passo 3
A forma
é dita não-degenerada se e somente se
Em termos de
, isso significa
ou seja,
é injetora.
Passo 4
O índice de inércia de uma forma bilinear, no sentido da componente “nula” da assinatura de Sylvester, é justamente
Em outras palavras, é a dimensão do núcleo da forma.
Passo 5
Portanto, juntar tudo dá:
– não-degenerada
.
Mas esse último número é exatamente o índice de inércia.
–
Mas esse último número é exatamente o índice de inércia.
Resposta
A forma bilinear é não-degenerada se, e somente se, seu índice de inércia (a dimensão do seu radical) é
.