Uma densidade superficial de carga uniforme \rho_{S}=8 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2} está distribuída sobre um plano infinito localizado em z=0. Calcule o campo elétrico, em coordenadas cartesianas, no ponto P(1,0,2). Obs.: todas as distâncias estão em metros.

Passo 1

O enunciado descreve um plano infinito, localizado em z=0, com densidade superficial de carga uniforme \rho_{S}=8\\ \mathrm{nC/m^{2}}. Queremos o campo elétrico no ponto P(1,0,2).
Conteúdo necessário: usar a Lei de Gauss para distribuir a carga de um plano infinito, que gera um campo uniforme e perpendicular ao plano.

Passo 2

Pela simetria, o campo elétrico de um plano infinito só tem componente normal ao plano, isto é, ao longo de \hat{k}. Escolhemos uma superfície gaussiana em forma de “tubo cilíndrico” (pílula) com faces planas paralelas ao plano carregado, de área A, uma face em z>0 e outra em z<0.

Passo 3

Aplicamos a Lei de Gauss:
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
O fluxo sai pelas duas faces planas, cada uma contribuindo com E\,A. Logo,
\Phi = E\,A + E\,A = 2\,E\,A.
A carga interna é Q_{\text{int}} = \rho_{S}\,A. Então
2\,E\,A = \frac{\rho_{S}\,A}{\varepsilon_{0}}
e, cancelando A,
E = \frac{\rho_{S}}{2\,\varepsilon_{0}}.

Passo 4

Como \rho_{S}>0, o campo sai do plano para z>0. No ponto P(1,0,2), que está acima do plano z=2, temos
\mathbf{E}(1,0,2) = E\,\hat{k}.

Passo 5

Substituindo os valores numéricos \rho_{S}=8\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^{2}}, \varepsilon_{0}=8,85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}:
E = \frac{8\times10^{-9}}{2\times8,85\times10^{-12}} \approx 4,52\times10^{2}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Em coordenadas cartesianas, separando componentes em \hat{i},\hat{j},\hat{k}, o campo em P é
\mathbf{E}(1,0,2) = 0\,\hat{i} + 0\,\hat{j} + 4{,}52\times10^{2}\,\hat{k} \quad\bigl[\mathrm{V/m}\bigr].

Resposta

\mathbf{E}(1,0,2) = \bigl(0,\,0,\,4{,}52\times10^{2}\bigr)\\ \mathrm{V/m}.

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