Considere o modelo populacional
a) Encontre as soluções de equilíbrio e esboce a reta de fase;
b) Determine o comportamento qualitativo das soluções da equação;
c) Interprete biologicamente os parâmetros
e
.
b) Determine o comportamento qualitativo das soluções da equação;
c) Interprete biologicamente os parâmetros
Passo 1
O enunciado apresenta o modelo populacional
com
e
.
Queremos:
– (a) achar as soluções de equilíbrio e esboçar a reta de fase;
– (b) descrever qualitativamente as soluções ;
– (c) dar interpretação biológica de e
.
Queremos:
– (a) achar as soluções de equilíbrio e esboçar a reta de fase;
– (b) descrever qualitativamente as soluções
– (c) dar interpretação biológica de
Passo 2
Para achar os equilíbrios, igualamos a taxa a zero:
Como
, as raízes são
Passo 3
Analisamos o sinal de
nos intervalos
,
e
:
– Em : temos
,
e
, logo
e
decresce.
– Em :
,
,
, logo
e
cresce.
– Em :
,
,
, logo
e
decresce.
– Em
– Em
– Em
Passo 4
Da análise de sinais obtemos a reta de fase sobre
:
Isto mostra que:
– é estável (fluxo vindo de
leva a zero).
– é instável (fluxo afasta-se de
).
– é estável (fluxo em ambos os lados leva a
).
–
–
–
Passo 5
Comportamento qualitativo de
dado
:
– Se , então
e
(extinção).
– Se , permanece em
(equilíbrio instável).
– Se , cresce e se aproxima de
.
– Se , decresce até
.
– Se
– Se
– Se
– Se
Resposta
(a) Equilíbrios em
,
e
. Reta de fase conforme o fluxo indicado no Passo 4.
(b) Para há extinção (
); para
a população cresce até
; para
decresce até
;
é instável.
(c) é a capacidade de suporte (carrying capacity) – o valor em que a população se estabiliza;
é um limiar mínimo (efeito Allee): abaixo dele a população decresce até a extinção.
(b) Para
(c)