Considere o modelo populacional
d Nd t=r N(b-N)(N-a), r>0 e 0<a<b
a) Encontre as soluções de equilíbrio e esboce a reta de fase;
b) Determine o comportamento qualitativo das soluções da equação;
c) Interprete biologicamente os parâmetros a e b.

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo populacional
dNdt=r,N,(b-N),(N-a),
com r>0 e 0<a<b.
Queremos:
– (a) achar as soluções de equilíbrio e esboçar a reta de fase;
– (b) descrever qualitativamente as soluções N(t);
– (c) dar interpretação biológica de a e b.

Passo 2

Para achar os equilíbrios, igualamos a taxa a zero:
r,N,(b-N),(N-a)=0
Como r>0, as raízes são
N^*=0, N^*=a, N^*=b

Passo 3

Analisamos o sinal de f(N)=r,N,(b-N),(N-a) nos intervalos [0,a), (a,b) e (b,infty):
– Em 0<N<a: temos N>0, b-N>0 e N-a<0, logo f(N)<0 e N decresce.
– Em a<N<b: N>0, b-N>0, N-a>0, logo f(N)>0 e N cresce.
– Em N>b: N>0, b-N<0, N-a>0, logo f(N)<0 e N decresce.

Passo 4

Da análise de sinais obtemos a reta de fase sobre N>=0:
bul<=t;0long<=ftarrow N<alongrightarrow a longrightarrow N<blong<=ftarrow b;bul<=t
Isto mostra que:
N=0 é estável (fluxo vindo de N>0 leva a zero).
N=a é instável (fluxo afasta-se de a).
N=b é estável (fluxo em ambos os lados leva a b).

Passo 5

Comportamento qualitativo de N(t) dado N(0)=N0>=0:
– Se 0<= N0<a, então dN/dt<0 e N(t)to0 (extinção).
– Se N0=a, permanece em N(t)=a (equilíbrio instável).
– Se a<N0<b, cresce e se aproxima de b.
– Se N0>b, decresce até b.

Resposta

(a) Equilíbrios em N=0, N=a e N=b. Reta de fase conforme o fluxo indicado no Passo 4.
(b) Para N0<a há extinção ( Nto0); para a<N0<b a população cresce até b; para N0>b decresce até b; N=a é instável.
(c) b é a capacidade de suporte (carrying capacity) – o valor em que a população se estabiliza; a é um limiar mínimo (efeito Allee): abaixo dele a população decresce até a extinção.

Exercícios relacionados