^a Questão.(2.5 pontos) Encontre o volume do sólido situado abaixo da esfera:
x^2+y^2+z^2=9
e acima do plano:
z=2

Passo 1

Enunciado: encontrar o volume do sólido limitado pela esfera
x^2 + y^2 + z^2 = 9
e pelo plano
z = 2
Matéria: cálculo de integrais para volume usando o método de discos horizontais.
O que vamos precisar:
  • Saber que a área de um círculo de raio r é pi r^2.
  • Montar uma integral definida integrala^b f(z),dz.
  • Integrar polinômios simples.

Passo 2

Para um z fixo entre 2 e 3 (topo da esfera), a seção transversal é um círculo de raio
r(z) = raiz9 - z^2,
pois da esfera vem x^2 + y^2 = 9 - z^2.
O volume de uma fatia de espessura dz vale
dV = área do círculotimes dz = pil(r(z)r)^2,dz = pi,(9 - z^2),dz áí

Passo 3

Somando todas as fatias de z=2 até z=3, montamos a integral do volume:
V = integral2^3 pi,(9 - z^2),dz

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
V = pi integral2^3 (9 - z^2),dz = pi l[9z - tfracz^33r]2^3
Em z=3: 9cdot3 - tfrac3^33 = 27 - 9 = 18.
Em z=2: 9cdot2 - tfrac2^33 = 18 - tfrac83 = tfrac463.
A diferença é
18 - tfrac463 = tfrac543 - tfrac463 = tfrac83
Logo
V = pi cdot tfrac83 = tfrac8pi3

Resposta

V = 8pi3

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