Considere que a raiz quadrada do número 7 está no intervalo [2,3], encontre-a usando:
a) Método da bisseção com precisão ;
b) Método de Newton com precisão .
Passo 1
O problema pede para aproximar a raiz de (isto é, ) no intervalo usando dois métodos de análise numérica:
o método da bisseção com precisão ;
o método de Newton (ou Newton–Raphson) com precisão .
Passo 2
Método da bisseção:
Definimos
Como e , existe raiz em . A cada iteração tomamos o ponto médio
avaliamos e substituímos o extremo cujo sinal em coincide com o sinal de . Repetimos até que o comprimento do intervalo fique menor que .
Passo 3
Aplicando a bisseção até :
i)
ii)
iii)
iv)
v)
vi)
vii)
Agora , então paramos e tomamos
como aproximação de .
Passo 4
Método de Newton:
Definimos novamente e sua derivada . A iteração é
Escolhemos e repetimos até : x1 = tfrac2,5 + 7/2,52 = 2,65 ;l|x1 - x0r|=0,15>0,0001 x2 = tfrac2,65 + 7/2,652approx 2,64575472 ;l|x2 - x1r|approx0,00424528>0,0001 x3 = tfrac2,64575472 + 7/2,645754722approx 2,64575131 ;l|x3 - x2r|approx0,00000341<0,0001, logo paramos com
x3 approx 2,64575131
Resposta
a) Pelo método da bisseção, raiz7approx 2,64453125.
b) Pelo método de Newton, raiz7approx 2,64575131.