Considere que a raiz quadrada do número 7 está no intervalo [2,3], encontre-a usando:
a) Método da bisseção com precisão epsilon=0,01;
b) Método de Newton com precisão epsilon=0,0001.

Passo 1

O problema pede para aproximar a raiz de ,x^2-7=0 (isto é, raiz7) no intervalo [2,3] usando dois métodos de análise numérica:
  • o método da bisseção com precisão epsilon=0,01;
  • o método de Newton (ou Newton–Raphson) com precisão epsilon=0,0001.

Passo 2

Método da bisseção:
Definimos
f(x) = x^2 - 7
Como f(2)=2^2-7=-3<0 e f(3)=3^2-7=2>0, existe raiz em [2,3]. A cada iteração tomamos o ponto médio
m = a+b2,
avaliamos f(m) e substituímos o extremo cujo sinal em f coincide com o sinal de f(m). Repetimos até que o comprimento do intervalo b-a fique menor que epsilon=0,01.

Passo 3

Aplicando a bisseção até b - a < 0,01:
i) [a,b] = [2,3],; m = 2,5,; f(m) = -0,75 ;Rightarrow [2,5,3]
ii) [2,5,3],; m = 2,75,; f(m) = 0,5625 ;Rightarrow [2,5,2,75]
iii) [2,5,2,75],; m = 2,625,; f(m) = -0,109375 ;Rightarrow [2,625,2,75]
iv) [2,625,2,75],; m = 2,6875,; f(m) = 0,22265625 ;Rightarrow [2,625,2,6875]
v) [2,625,2,6875],; m = 2,65625,; f(m) = 0,05859375 ;Rightarrow [2,625,2,65625]
vi) [2,625,2,65625],; m = 2,640625,; f(m) = -0,025390625 ;Rightarrow [2,640625,2,65625]
vii) [2,640625,2,65625],; m = 2,6484375,; f(m) = 0,0146484375 ;Rightarrow [2,640625,2,6484375]
Agora b - a = 2,6484375 - 2,640625 = 0,0078125 < 0,01, então paramos e tomamos
m = 2,640625 + 2,64843752 = 2,64453125
como aproximação de raiz7.

Passo 4

Método de Newton:
Definimos novamente f(x)=x^2-7 e sua derivada f'(x)=2x. A iteração é
xn+1 ;=; xn ;-;f(xn)f'(xn) ;=;xn + tfrac7xn2
Escolhemos x0=2,5 e repetimos até l|xn+1-xnr|<0,0001:
x1 = tfrac2,5 + 7/2,52 = 2,65 ;l|x1 - x0r|=0,15>0,0001 x2 = tfrac2,65 + 7/2,652approx 2,64575472 ;l|x2 - x1r|approx0,00424528>0,0001 x3 = tfrac2,64575472 + 7/2,645754722approx 2,64575131 ;l|x3 - x2r|approx0,00000341<0,0001, logo paramos com
x3 approx 2,64575131

Resposta

a) Pelo método da bisseção, raiz7approx 2,64453125.
b) Pelo método de Newton, raiz7approx 2,64575131.

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