Questão 5. Resolva os problemas de valor inicial:
ly^prime+(1-2 x) y=x e^-x y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' + (1 - 2x),y = x e^-x, y(0)=2
Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

No formato padrão y'+p(x)y=q(x) temos p(x)=1-2x. O fator integrante é
mu(x)=e^integral p(x),dx =e^integral(1-2x),dx =e^x - x^2

Passo 3

Multiplicando a EDO por mu(x), o lado esquerdo se torna a derivada de mu y:
mu(x),y' + mu(x),p(x),y =ddxl(mu(x),yr) =mu(x),x e^-x

Passo 4

No lado direito aparece
mu(x),x e^-x =e^x - x^2,x e^-x =x e^-x^2
Integramos em x:
integral x e^-x^2,dx =-tfrac12 e^-x^2 + C

Passo 5

Então
mu(x),y = -tfrac12 e^-x^2 + C
e isolando y:
y =-tfrac12 e^-x^2+Ce^x - x^2 =-tfrac12 e^-x + C,e^,x^2 - x

Passo 6

Usando a condição inicial y(0)=2:
2 = -tfrac12 e^0 + C,e^0 =-tfrac12 + C Longrightarrow C = 2 + tfrac12 = tfrac52

Passo 7

Substituindo C=tfrac52 obtemos a solução particular:
y(x) = -tfrac12 e^-x + tfrac52 e^,x^2 - x

Resposta

y(x) = -tfrac12 e^-x + tfrac52 e^,x^2 - x

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