Localize as raízes da equação a seguir:
1-ln (x)=0.
Em todos os casos verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.

Passo 1

O enunciado pede para achar as raízes da equação 1 - ln(x) = 0. O conteúdo envolvido é o logaritmo natural, sua inversão pela função exponencial, a continuidade e a monotonicidade da função f(x)=1-ln(x).

Passo 2

Definimos f(x)=1-ln(x) com domínio x>0, pois ln(x) só está definido para valores positivos.

Passo 3

Para mostrar que existe um zero, avaliamos f em dois pontos:

Passo 4

f(2)=1-ln(2)approx1-0,693=0,307>0,

Passo 5

f(3)=1-ln(3)approx1-1,099=-0,099<0

Passo 6

Como f é contínua, pelo Teorema de Bolzano há pelo menos um zero em (2,3).

Passo 7

Para estreitar o intervalo, calculamos:

Passo 8

f(2,7)=1-ln(2,7)approx1-0,993=0,007>0,

Passo 9

f(2,8)=1-ln(2,8)approx1-1,030=-0,030<0

Passo 10

Logo, há um zero em (2,7,2,8).

Passo 11

Para ver que ele é único, notamos que f'(x)=-1/x<0 para todo x>0, logo f é estritamente decrescente e não pode ter mais de uma raiz.

Resposta

A única raiz da equação é x=e, e ela está localizada no intervalo (2,7,2,8).

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