Localize as raízes da equação a seguir:
.
Em todos os casos verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Em todos os casos verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Passo 1
O enunciado pede para achar as raízes da equação
. O conteúdo envolvido é o logaritmo natural, sua inversão pela função exponencial, a continuidade e a monotonicidade da função
.
Passo 2
Definimos
com domínio
, pois
só está definido para valores positivos.
Passo 3
Para mostrar que existe um zero, avaliamos
em dois pontos:
Passo 4
Passo 5
Passo 6
Como
é contínua, pelo Teorema de Bolzano há pelo menos um zero em
.
Passo 7
Para estreitar o intervalo, calculamos:
Passo 8
Passo 9
Passo 10
Logo, há um zero em
.
Passo 11
Para ver que ele é único, notamos que
para todo
, logo
é estritamente decrescente e não pode ter mais de uma raiz.
Resposta
A única raiz da equação é
, e ela está localizada no intervalo
.