(sub-additividade enumerável) Mostre que
P(cupn=1^infty An) <= sumn=1^infty P(An)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado uma sequência de eventos A1,A2,dots num espaço de probabilidade, vale a desigualdade de subaditividade enumerável P(cupn=1^infty An) <= sumn=1^infty P(An). O conteúdo principal é teoria de medidas — mais especificamente, a propriedade de sigma-aditividade de P e a monotonicidade de medidas.

Passo 2

Para aplicar a sigma-aditividade, a gente costuma decompor a união em eventos disjuntos. Definimos
B1 = A1,
Bn = An setminus cupk=1^n-1 Ak (n>=2)
Note que por construção os Bn são disjuntos entre si, isto é, Bi cap Bj = emptyset se ineq j, e
cupn=1^infty An = cupn=1^infty Bn

Passo 3

Como P é sigma-aditiva em eventos disjuntos,
Pl(cupn=1^infty Anr) = Pl(cupn=1^infty Bnr) = sumn=1^infty P(Bn)

Passo 4

Agora, usando a monotonicidade da probabilidade (se Bnsubseteq An então P(Bn)<= P(An)), somamos em n:
sumn=1^infty P(Bn) <= sumn=1^infty P(An)

Passo 5

Juntando tudo, obtemos exatamente a desigualdade pedida.

Resposta

Pl(cupn=1^infty Anr) <= sumn=1^infty P(An).

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