(sub-additividade enumerável) Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado uma sequência de eventos
num espaço de probabilidade, vale a desigualdade de subaditividade enumerável
. O conteúdo principal é teoria de medidas — mais especificamente, a propriedade de
-aditividade de
e a monotonicidade de medidas.
Passo 2
Para aplicar a
-aditividade, a gente costuma decompor a união em eventos disjuntos. Definimos
Note que por construção os
são disjuntos entre si, isto é,
se
, e
Passo 3
Como
é
-aditiva em eventos disjuntos,
Passo 4
Agora, usando a monotonicidade da probabilidade (se
então
), somamos em
:
Passo 5
Juntando tudo, obtemos exatamente a desigualdade pedida.