Considere o modelo de regressão linear simples Y=beta0+beta1 x+e. Suponha que o analista queira usar z=x-barx como regressor.
Encontre as estimativas de mínimos quadrados de beta0^* e beta1^* do modelo Y=beta0^*+beta1^* z+e. Como elas estão relacionadas às estimativas de mínimos quadrados beta0 e beta1 ?

Passo 1

Então, o que o exercício pede? A gente tinha o modelo
Y = beta0 + beta1,x + e
e agora vai usar Y = beta0^* + beta1^*,z + e como variável explicativa, reescrevendo o modelo como
O objetivo é encontrar as fórmulas de mínimos quadrados para e e mostrar como elas se ligam às estimativas e do modelo original.
Matéria envolvida: regressão linear simples, fórmula de OLS para intercepto e coeficiente angular, e propriedade de centrar a variável (média de dá zero).

Passo 2

Vamos primeiro achar hatbeta1^* ;=; sumi=1^n (zi - bar z),(Yi - bar Y) sumi=1^n (zi - bar z)^2 , o coeficiente angular no modelo com bar z ;=;1n sumi (xi - bar x);=;0 .
A fórmula geral de OLS é
hatbeta1^* = sumi zi,(Yi - bar Y)sumi zi^2 = sumi (xi - bar x),(Yi - bar Y)sumi (xi - bar x)^2
Mas, como definimos boxedhatbeta1^* ;=;hatbeta1 , fica fácil ver que
Logo a fórmula vira
E isso é exatamente a mesma expressão que usamos para no modelo original.
Portanto

Passo 3

Agora, para o intercepto hatbeta0^* = bar Y . Uma forma simples de lembrar é: no modelo com hatbeta0 = bar Y ;-;hatbeta1,bar x Longrightarrow bar Y = hatbeta0 + hatbeta1,bar x , quando boxedhatbeta0^* = hatbeta0 + hatbeta1,bar x a reta dá a predição . Mas ocorre quando . E a reta de mínimos quadrados sempre passa pelo ponto .
Logo, colocando temos , isto é
Para relacionar com o intercepto original , lembramos que
Por isso também vale

Resposta


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