Considere o modelo de regressão linear simples
. Suponha que o analista queira usar
como regressor.
Encontre as estimativas de mínimos quadrados de
e
do modelo
. Como elas estão relacionadas às estimativas de mínimos quadrados
e
?
Encontre as estimativas de mínimos quadrados de
Passo 1
Então, o que o exercício pede? A gente tinha o modelo
e agora vai usar
como variável explicativa, reescrevendo o modelo como
O objetivo é encontrar as fórmulas de mínimos quadrados para
e
e mostrar como elas se ligam às estimativas
e
do modelo original.
Matéria envolvida: regressão linear simples, fórmula de OLS para intercepto e coeficiente angular, e propriedade de centrar a variável (média de dá zero).
Matéria envolvida: regressão linear simples, fórmula de OLS para intercepto e coeficiente angular, e propriedade de centrar a variável (média de
Passo 2
Vamos primeiro achar
, o coeficiente angular no modelo com
.
A fórmula geral de OLS é
A fórmula geral de OLS é
Mas, como definimos
, fica fácil ver que
Logo a fórmula vira
E isso é exatamente a mesma expressão que usamos para
no modelo original.
Portanto
Portanto
Passo 3
Agora, para o intercepto
. Uma forma simples de lembrar é: no modelo com
, quando
a reta dá a predição
. Mas
ocorre quando
. E a reta de mínimos quadrados sempre passa pelo ponto
.
Logo, colocando temos
, isto é
Logo, colocando
Para relacionar com o intercepto original
, lembramos que
Por isso também vale