Considere o modelo simplificado de gás ideal discutido na disciplina (átomos com velocidades escalares iguais; sem colisões interatômicas; N / 3 átomos movendo-se em cada direção Cartesiana). Iremos considerar o caso mais simples: apenas um tipo de molécula, com massa m e velocidade escalar constante v_{0}. No total, há N moléculas contidas em um recipiente cúbico com volume V=L^{3}. Indique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando todas as respostas
( ) A força média que uma partícula exerce sobre uma das paredes do recipiente é m v_{0}{ }^{2} / L.
( ) A força média sobre uma das paredes do recipiente é (N / 3) m v_{0}{ }^{2} / L.
( ) A pressão do gás é dada por P=m v_{0}^{2} / L^{3}=(2 / V)\left(1 / 2 m v_{0}^{2}\right).
( ) A temperatura do gás é diretamente proporcional à energia média dos átomos.

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal simplificado com N moléculas de massa m e velocidade escalar constante v_{0}, confinadas num cubo de lado L. Não há colisões interatômicas e, em média, \frac{N}{3} moléculas movem-se ao longo de cada eixo cartesiano. Precisamos avaliar quatro afirmações sobre (1) força média por partícula, (2) força média total na parede, (3) pressão do gás e (4) relação entre temperatura e energia média.

Passo 2

Para uma molécula que se move na direção x com velocidade v_{0}, cada colisão elástica na parede perpendicular a x inverte seu momento de +m v_{0} para -m v_{0}, gerando impulso
\Delta p = 2\,m\,v_{0}.
O tempo entre colisões sucessivas com a mesma parede é \tau = 2L / v_{0}. Assim, a força média exercida por essa partícula é
F_{\text{part}} = \frac{\Delta p}{\tau} = \frac{2\,m\,v_{0}}{2L/v_{0}} = \frac{m\,v_{0}^{2}}{L}.

Passo 3

Há, em média, N/3 moléculas movendo-se na direção x. Somando suas contribuições:
F_{\text{total}} = \frac{N}{3}\,F_{\text{part}} = \frac{N}{3}\,\frac{m\,v_{0}^{2}}{L}.

Passo 4

A pressão é P = F_{\text{total}}/A com A = L^{2}, logo
P = \frac{N\,m\,v_{0}^{2}}{3\,L\,L^{2}} = \frac{N\,m\,v_{0}^{2}}{3\,V}.
Portanto, não vale P = m v_{0}^{2}/L^{3} nem P=(2/V)(\tfrac12 m v_{0}^{2}).

Passo 5

Pela teoria cinética do gás ideal, a temperatura T relaciona-se à energia cinética média \langle E_{\text{c}}\rangle via
\langle E_{\text{c}}\rangle = \tfrac{3}{2}k_{B}T,
logo T é diretamente proporcional à energia média dos átomos.

Resposta

(V)
(V)
(F)
(V)

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