Como a temperatura afeta a distribuição das velocidades moleculares em um gás ideal? Analise o comportamento da curva de Maxwell-Boltzmann para diferentes temperaturas.

Passo 1

O enunciado pergunta como a temperatura afeta a distribuição de velocidades moleculares em um gás ideal segundo a lei de Maxwell–Boltzmann. Vamos usar a expressão da função densidade de probabilidade das velocidades, além de calcular as velocidades mais prováveis, médias e quadrática média para ver como elas escalam com a temperatura.

Passo 2

A distribuição de Maxwell–Boltzmann para a velocidade escalar v é dada por
f(v) \;=\; 4\pi \biggl(\frac{m}{2\pi kT}\biggr)^{3/2} v^{2} \exp\!\Bigl(-\frac{m v^{2}}{2kT}\Bigr),
onde m é a massa da molécula, k é a constante de Boltzmann e T a temperatura. Essa função é normalizada, ou seja, \displaystyle \int_{0}^{\infty} f(v)\,\mathrm{d}v = 1.

Passo 3

Podemos extrair três velocidades características e ver como elas variam com T:
v_{\mathrm{mp}} = \sqrt{\frac{2kT}{m}}, \quad \langle v \rangle = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}, \quad v_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}.
Note que todas crescem proporcionalmente a \sqrt{T}. Já a altura do pico da distribuição f(v_{\mathrm{mp}}) escala como T^{-3/2}, ou seja, quanto maior T, menor altura máxima.

Passo 4

Comparando duas temperaturas T_1 < T_2:
  1. O pico de f(v) em T_2 está deslocado para a direita ( v_{\mathrm{mp},2} > v_{\mathrm{mp},1}).
  2. A curva em T_2 é mais larga (maior dispersão de velocidades) e o “pico” fica mais baixo, porque a área sob a curva permanece igual a 1.
  3. Em T_1, a distribuição é mais concentrada em velocidades baixas e o pico é mais alto e mais estreito.
Em termos práticos, aumentar a temperatura faz com que haja mais moléculas em altas velocidades e menos em baixas, espalhando a distribuição.

Resposta

À medida que a temperatura cresce, a curva de Maxwell–Boltzmann se alarga, o pico se desloca para velocidades maiores e sua altura diminui. Isso reflete o fato de que aumenta a velocidade mais provável \bigl(v_{\mathrm{mp}}\propto\sqrt{T}\bigr), a velocidade média \bigl(\langle v\rangle\propto\sqrt{T}\bigr) e o desvio da distribuição, com mais moléculas ocupando as regiões de altas velocidades.

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