Suponha que você deseje estudar o comportamento molecular do ar atmosférico. Quais grandezas relacionadas à velocidade molecular você consideraria? Como elas se relacionam com a pressão atmosférica?

Passo 1

O enunciado pede para estudar o comportamento molecular do ar atmosférico, em particular quais grandezas de velocidade molecular são relevantes e como elas se relacionam com a pressão atmosférica. Vamos usar a teoria cinética dos gases e a distribuição de Maxwell–Boltzmann para gases ideais.

Passo 2

A distribuição de velocidades de Maxwell–Boltzmann em três dimensões, que dá a densidade de probabilidade de encontrar moléculas com velocidade entre v e v + \mathrm{d}v, é
f(v) \, \mathrm{d}v =4\pi \biggl(\frac{m}{2\pi k_B T}\biggr)^{\!3/2} v^2 \exp\!\Bigl(-\frac{m v^2}{2 k_B T}\Bigr)\,\mathrm{d}v,
onde m é a massa de uma molécula de ar, k_B é a constante de Boltzmann e T a temperatura.

Passo 3

Das estatísticas dessa distribuição extraímos três velocidades características:
v_{\text{mp}} = \sqrt{\frac{2 k_B T}{m}} \quad(\text{velocidade mais provável}),á
\langle v\rangle = \int_{0}^{\infty} v\,f(v)\,\mathrm{d}v = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi\,m}} \quad(\text{velocidade média}),é
v_{\text{rms}} =\sqrt{\langle v^2\rangle} =\sqrt{\int_{0}^{\infty} v^2\,f(v)\,\mathrm{d}v} =\sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} \quad(\text{velocidade quadrática média}).áé

Passo 4

Na teoria cinética, a pressão p de um gás ideal em equilíbrio está ligada à velocidade quadrática média por
p = \tfrac{1}{3} n\,m\,\langle v^2\rangle = \tfrac{1}{3}\,n\,m\,v_{\text{rms}}^2,
onde n é a densidade numérica de moléculas ( \text{moléculas}/\mathrm{m}^3é). Como \langle v^2\rangle\propto T, temos também a lei \;p = n k_B T, que é equivalente à expressão acima.

Resposta

  1. v_{\text{mp}} = \sqrt{\tfrac{2k_B T}{m}} (velocidade modal).
  2. \langle v\rangle = \sqrt{\tfrac{8k_B T}{\pi m}} (velocidade média).
  3. v_{\text{rms}} = \sqrt{\tfrac{3k_B T}{m}} (velocidade quadrática média).
    A pressão satisfaz
p = \tfrac{1}{3}\,n\,m\,v_{\text{rms}}^2 \quad\Longleftrightarrow\quad p = n\,k_B\,T.

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