Considere
de modo que
Acerca de
, determine:
(a) o domínio e assíntotas verticais/horizontais;
(b) intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de máximo e mínimo locais;
(c) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(d) um esboço do gráfico, usando as informações obtidas em (a), (b), (c).
(a) o domínio e assíntotas verticais/horizontais;
(b) intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de máximo e mínimo locais;
(c) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(d) um esboço do gráfico, usando as informações obtidas em (a), (b), (c).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e algumas derivadas dela já calculadas. O que precisamos fazer é:
- (a) Encontrar o domínio da função e suas assíntotas verticais e horizontais.
- (b) Determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, além dos pontos de máximo e mínimo locais.
- (c) Descobrir os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
- (d) Fazer um esboço do gráfico usando todas essas informações.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como domínio, assíntotas, derivadas primeiras e segundas, e análise de gráficos. Vamos lá!
Passo 2
(a) Determinar o domínio e as assíntotas verticais/horizontais
Domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para
, precisamos que o denominador não seja zero.
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
Então, resolvemos
:
Portanto, o domínio é todos os reais exceto
e
.
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função cresce sem limite quando se aproxima de certos valores de . Aqui, como
e
tornam o denominador zero, temos assíntotas verticais nessas pontas.
Assíntotas verticais ocorrem onde a função cresce sem limite quando se aproxima de certos valores de
Então, as assíntotas verticais são:
Assíntotas Horizontais:
Assíntotas horizontais acontecem quando tende ao infinito positivo ou negativo, e a função se aproxima de um valor constante.
Assíntotas horizontais acontecem quando
Vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito:
O mesmo acontece quando
tende a
.
Portanto, a assíntota horizontal é:
Passo 3
(b) Determinar intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de máximo e mínimo locais
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, olhamos para a derivada primeira
.
Dada:
Vamos analisar o sinal de
.
Análise do Sinal da Derivada:
- O numerador
é sempre positivo, já que é não negativo e estamos somando 1. - O denominador
também é sempre positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo.
Portanto,
para todo
no domínio.
Conclusão:
Como é sempre positivo, a função está sempre crescente no seu domínio. Não há intervalos de decrescimento, nem pontos de máximo ou mínimo locais.
Como
Passo 4
(c) Determinar intervalos de concavidade e pontos de inflexão
Para analisar a concavidade, usamos a derivada segunda
.
Dada:
Vamos ver onde
é positiva ou negativa.
Análise do Sinal da Derivada Segunda:
- O numerador
: -
é sempre positivo. -
muda de sinal dependendo de : - Positivo quando
- Negativo quando
- Positivo quando
-
- O denominador
: - O sinal depende de
: - Positivo quando
- Negativo quando
- Positivo quando
- O sinal depende de
Casos:
-
Quando
: -
é negativo -
é negativo -
é negativo - Resultado: negativo / negativo = positivo
-
-
Quando
: -
é negativo -
é positivo -
é positivo - Resultado: negativo / positivo = negativo
-
-
Quando
: -
é positivo -
é positivo -
é positivo - Resultado: positivo / positivo = positivo
-
-
Quando
: -
é positivo -
é negativo -
é negativo - Resultado: positivo / negativo = negativo
-
Conclusão sobre a concavidade:
- Concava para cima (f’’(x) > 0):
e - Concava para baixo (f’’(x) < 0):
e
Pontos de Inflexão:
São onde a concavidade muda, ou seja, onde ou não está definida.
São onde a concavidade muda, ou seja, onde
-
quando : -
- Também há pontos onde
não está definido, mas já identificamos os intervalos.
Portanto, o único ponto de inflexão é em
.
Passo 5
(d) Esboço do gráfico usando as informações obtidas
Vamos resumir o que descobrimos:
- Domínio: Todos os reais, exceto
e . - Assíntotas Verticais:
e . - Assíntota Horizontal:
. - Crescimento: Sempre crescente.
- Concavidade:
- Concava para cima:
e . - Concava para baixo:
e .
- Concava para cima:
- Ponto de Inflexão:
.
Passos para desenhar o gráfico:
- Desenhe as assíntotas: Trace linhas verticais em
e , e uma horizontal em . - Marque o ponto de inflexão em
. - Desenhe a curva:
- Para
: Cresce, concava para cima, aproximando-se das assíntotas. - Entre
e : Continua crescente, agora concava para baixo. - Entre
e : Continua crescente, concava para cima novamente. - Para
: Cresce, concava para baixo, aproximando-se da assíntota vertical.
- Para
Resposta
Seguindo os passos acima, determinamos todas as características da função
. O esboço do gráfico deve refletir o domínio, as assíntotas, o comportamento crescente, a concavidade e o ponto de inflexão em
. Assim, temos uma representação completa da função conforme solicitado.