Considere f(x)=x1-x^2 de modo que
f^prime(x)=x^2+1(1-x^2)^2, f^prime prime(x)=2 x(3+x^2)(1-x^2)^3
Acerca de f, determine:
(a) o domínio e assíntotas verticais/horizontais;
(b) intervalos de crescimento/decrescimento, pontos de máximo e mínimo locais;
(c) intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(d) um esboço do gráfico, usando as informações obtidas em (a), (b), (c).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício passo a passo! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função f(x) = x1 - x^2 e algumas derivadas dela já calculadas. O que precisamos fazer é:
  • (a) Encontrar o domínio da função e suas assíntotas verticais e horizontais.
  • (b) Determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, além dos pontos de máximo e mínimo locais.
  • (c) Descobrir os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
  • (d) Fazer um esboço do gráfico usando todas essas informações.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo como domínio, assíntotas, derivadas primeiras e segundas, e análise de gráficos. Vamos lá!

Passo 2

(a) Determinar o domínio e as assíntotas verticais/horizontais
Domínio:
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Para f(x) = x1 - x^2 , precisamos que o denominador não seja zero.
Então, resolvemos 1 - x^2 neq 0 :
1 - x^2 neq 0 Rightarrow x^2 neq 1 Rightarrow x neq pm 1
Portanto, o domínio é todos os reais exceto x = 1 e x = -1 .
Assíntotas Verticais:
Assíntotas verticais ocorrem onde a função cresce sem limite quando se aproxima de certos valores de x . Aqui, como x = 1 e x = -1 tornam o denominador zero, temos assíntotas verticais nessas pontas.
Então, as assíntotas verticais são:
x = 1 e x = -1
Assíntotas Horizontais:
Assíntotas horizontais acontecem quando x tende ao infinito positivo ou negativo, e a função se aproxima de um valor constante.
Vamos calcular o limite de f(x) quando x tende ao infinito:
limx to infty x1 - x^2 = limx to infty x-x^2 = limx to infty -1x = 0
O mesmo acontece quando x tende a -infty .
Portanto, a assíntota horizontal é:
y = 0

Passo 3

(b) Determinar intervalos de crescimento/decrescimento e pontos de máximo e mínimo locais
Para saber onde a função está crescendo ou decrescendo, olhamos para a derivada primeira f'(x) .
Dada:
f'(x) = x^2 + 1(1 - x^2)^2
Vamos analisar o sinal de f'(x) .
Análise do Sinal da Derivada:
  • O numerador x^2 + 1 é sempre positivo, já que x^2 é não negativo e estamos somando 1.
  • O denominador (1 - x^2)^2 também é sempre positivo, pois qualquer número ao quadrado é positivo.
Portanto, f'(x) > 0 para todo x no domínio.
Conclusão:
Como f'(x) é sempre positivo, a função está sempre crescente no seu domínio. Não há intervalos de decrescimento, nem pontos de máximo ou mínimo locais.

Passo 4

(c) Determinar intervalos de concavidade e pontos de inflexão
Para analisar a concavidade, usamos a derivada segunda f''(x) .
Dada:
f''(x) = 2x(3 + x^2)(1 - x^2)^3
Vamos ver onde f''(x) é positiva ou negativa.
Análise do Sinal da Derivada Segunda:
  • O numerador 2x(3 + x^2) :
    • 3 + x^2 é sempre positivo.
    • 2x muda de sinal dependendo de x :
      • Positivo quando x > 0
      • Negativo quando x < 0
  • O denominador (1 - x^2)^3 :
    • O sinal depende de 1 - x^2 :
      • Positivo quando |x| < 1
      • Negativo quando |x| > 1
Casos:
  1. Quando x < -1 :
    • 2x é negativo
    • 1 - x^2 é negativo
    • (1 - x^2)^3 é negativo
    • Resultado: negativo / negativo = positivo
  2. Quando -1 < x < 0 :
    • 2x é negativo
    • 1 - x^2 é positivo
    • (1 - x^2)^3 é positivo
    • Resultado: negativo / positivo = negativo
  3. Quando 0 < x < 1 :
    • 2x é positivo
    • 1 - x^2 é positivo
    • (1 - x^2)^3 é positivo
    • Resultado: positivo / positivo = positivo
  4. Quando x > 1 :
    • 2x é positivo
    • 1 - x^2 é negativo
    • (1 - x^2)^3 é negativo
    • Resultado: positivo / negativo = negativo
Conclusão sobre a concavidade:
  • Concava para cima (f’’(x) > 0): x < -1 e 0 < x < 1
  • Concava para baixo (f’’(x) < 0): -1 < x < 0 e x > 1
Pontos de Inflexão:
São onde a concavidade muda, ou seja, onde f''(x) = 0 ou não está definida.
  • f''(x) = 0 quando 2x(3 + x^2) = 0 :
    • x = 0
  • Também há pontos onde f''(x) não está definido, mas já identificamos os intervalos.
Portanto, o único ponto de inflexão é em x = 0 .

Passo 5

(d) Esboço do gráfico usando as informações obtidas
Vamos resumir o que descobrimos:
  1. Domínio: Todos os reais, exceto x = 1 e x = -1 .
  2. Assíntotas Verticais: x = 1 e x = -1 .
  3. Assíntota Horizontal: y = 0 .
  4. Crescimento: Sempre crescente.
  5. Concavidade:
    • Concava para cima: x < -1 e 0 < x < 1 .
    • Concava para baixo: -1 < x < 0 e x > 1 .
  6. Ponto de Inflexão: x = 0 .
Passos para desenhar o gráfico:
  • Desenhe as assíntotas: Trace linhas verticais em x = 1 e x = -1 , e uma horizontal em y = 0 .
  • Marque o ponto de inflexão em x = 0 .
  • Desenhe a curva:
    • Para x < -1 : Cresce, concava para cima, aproximando-se das assíntotas.
    • Entre -1 e 0 : Continua crescente, agora concava para baixo.
    • Entre 0 e 1 : Continua crescente, concava para cima novamente.
    • Para x > 1 : Cresce, concava para baixo, aproximando-se da assíntota vertical.

Resposta

Seguindo os passos acima, determinamos todas as características da função f(x) = x1 - x^2 . O esboço do gráfico deve refletir o domínio, as assíntotas, o comportamento crescente, a concavidade e o ponto de inflexão em x = 0 . Assim, temos uma representação completa da função conforme solicitado.

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