Exercício 2. Calcule as integrais duplas na região retangular
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla na região retangular
. Isso faz parte do cálculo multivariável, onde trabalhamos com integrais que envolvem mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e integrar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
onde vamos integrar. Ela é definida por:
Isso significa que
varia de 0 a 2 e
varia de 0 a
.
Passo 3
A integral que precisamos calcular é:
Aqui,
representa um elemento de área na região
, e a função que estamos integrando é
.
Passo 4
Vamos transformar essa integral dupla em uma iterada, ou seja, uma integral dentro da outra. Podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Assim, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, podemos tirá-lo da integral:
Passo 6
A integral de
em relação a
é uma integral padrão:
Então, aplicando os limites:
Passo 7
Sabemos que
e
, então:
Portanto, a integral interna simplifica para
.
Passo 8
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Essa é uma integral básica de
em relação a
.
Passo 9
Vamos calcular:
Aplicando os limites de 0 a 2:
Resposta
O valor da integral dupla é 2.