Exercício 2. Calcule as integrais duplas na região retangular R.
integral duplaR x sec ^2 y d A, R=(x, y) ; 0 <= x <= 2,0 <= y <= pi4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla na região retangular R . Isso faz parte do cálculo multivariável, onde trabalhamos com integrais que envolvem mais de uma variável. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral dupla e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região R onde vamos integrar. Ela é definida por:
R = (x, y) ; 0 <= x <= 2, , 0 <= y <= pi4
Isso significa que x varia de 0 a 2 e y varia de 0 a pi4 .

Passo 3

A integral que precisamos calcular é:
integral duplaR x sec^2 y , dA
Aqui, dA representa um elemento de área na região R , e a função que estamos integrando é x sec^2 y .

Passo 4

Vamos transformar essa integral dupla em uma iterada, ou seja, uma integral dentro da outra. Podemos integrar primeiro em relação a y e depois em relação a x . Assim, temos:
integral0^2 ( integral0^pi4 x sec^2 y , dy ) dx

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral interna, que é em relação a y :
integral0^pi4 x sec^2 y , dy
Como x é constante em relação a y , podemos tirá-lo da integral:
x integral0^pi4 sec^2 y , dy

Passo 6

A integral de sec^2 y em relação a y é uma integral padrão:
integral sec^2 y , dy = tan y + C
Então, aplicando os limites:
x [ tan y ]0^pi4 = x ( tan pi4 - tan 0 )

Passo 7

Sabemos que tan pi4 = 1 e tan 0 = 0 , então:
x (1 - 0) = x
Portanto, a integral interna simplifica para x .

Passo 8

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2 x , dx
Essa é uma integral básica de x em relação a x .

Passo 9

Vamos calcular:
integral x , dx = x^22 + C
Aplicando os limites de 0 a 2:
[ x^22 ]0^2 = 2^22 - 0^22 = 42 - 0 = 2

Resposta

O valor da integral dupla é 2.

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