Considere que o módulo de Young para un osso seja 1,50 \times 10^{16} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. O osso quebra se sofrer uma tensio maior que 1.50 \times 10^{8} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}. (a) Qual é a força máxima que pode ser exercida sobre o fêmur se ele tiver um diâmetro efetivo minimo de 2,50 \mathrm{~cm} ? (b) Se essa força fosse aplicada compressivamente, em quanto o osso de 25,0 \mathrm{~cm} encurtaria?

Passo 1

O enunciado nos dá o módulo de Young de um osso E=1{,}50\times10^{16}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^2 e a tensão de ruptura \sigma_{\max}=1{,}50\times10^{8}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^2. Pede-se:
(a) a força máxima F_{\max} num fêmur de diâmetro mínimo d=2{,}50\,\mathrm{cm};
(b) o encurtamento \Delta L de um osso de comprimento inicial L=25{,}0\,\mathrm{cm} sob essa força em compressão.
Usaremos as fórmulas
\sigma=\frac{F}{A}, \qquad \Delta L=\frac{F\,L}{A\,E},
onde A é a área da seção transversal.

Passo 2

Calculamos a área da seção transversal, supondo seção circular de diâmetro d=2{,}50\,\mathrm{cm}=0{,}0250\,\mathrm{m}. O raio é
r=\frac{d}{2}=0{,}0125\,\mathrm{m},
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A=\pi r^2 =\pi\,(0{,}0125\,\mathrm{m})^2 =\pi\times1{,}5625\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2 \approx4{,}9087\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2.

Passo 3

Para encontrar a força de ruptura usamos
F_{\max}=\sigma_{\max}\,A =1{,}50\times10^{8}\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^2} \times4{,}9087\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2 \approx7{,}36\times10^{4}\,\mathrm{N}.

Passo 4

Com essa força em compressão, o encurtamento é
\Delta L =\frac{F_{\max}\,L}{A\,E} =\frac{7{,}36\times10^{4}\,\mathrm{N}\times0{,}250\,\mathrm{m}} {4{,}9087\times10^{-4}\,\mathrm{m}^2\times1{,}50\times10^{16}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}^2} \approx2{,}50\times10^{-9}\,\mathrm{m}.

Resposta

(a) F_{\max}\approx7{,}36\times10^{4}\,\mathrm{N}.
(b) \Delta L\approx2{,}50\times10^{-9}\,\mathrm{m}.

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