a) A partir da equação geral de dU, diga porque a mesma se reduz à dU= n CV dT para um gas ideal? Fundamente sua resposta.
b) A equação de estado é PV=RT - BP descreve ponto crítico? Fundamente sua resposta.
c) Porque o primeiro princípio da termodinâmica é considerado o princípio da conservação da energia? Fundamente sua resposta

Passo 1

O enunciado faz três perguntas sobre termodinâmica:
a) mostrar por que da relação geral
dU = T\,dS - P\,dV
para um gás ideal ela se reduz a
dU = n\,C_{V}\,dT
b) verificar se a equação de estado truncada
P\,V = R\,T - B\,P
descreve ponto crítico
c) explicar por que o primeiro princípio da termodinâmica é considerado o princípio da conservação da energia
Para isso vamos usar conceitos de energia interna, propriedades dos gases ideais, expansão de virial e definição do primeiro princípio.

Passo 2

Para um gás ideal, a energia interna U depende somente da temperatura T. Isso implica que, ao diferenciar U, o termo em dV desaparece, pois
\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T = 0.
Por definição de diferencial total,
dU = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T dV
torna-se
dU = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V dT.
Como definimos a capacidade térmica molar a volume constante por
C_V = \frac{1}{n}\Bigl(\frac{\partial U}{\partial T}\Bigr)_V,
segue-se
dU = n\,C_V\,dT.

Passo 3

A equação
P\,V = R\,T - B\,P
pode ser rearranjada para
P = \frac{R\,T}{V + B}.
Para haver ponto crítico em P(V) a temperatura fixa deve existir um ponto de inflexão tal que
\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T = 0 \quad\text{e}\quad \left(\frac{\partial^2 P}{\partial V^2}\right)_T = 0.
Mas calculamos
\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T = -\,\frac{R\,T}{(V+B)^2}\;<0
sempre negativa, e
\left(\frac{\partial^2 P}{\partial V^2}\right)_T = 2\,\frac{R\,T}{(V+B)^3}\;>0
sempre positiva. Nunca se anula nem a primeira nem a segunda derivada simultaneamente, logo não há ponto crítico.

Passo 4

O primeiro princípio ou lei da termodinâmica afirma que a variação da energia interna dU de um sistema é igual ao calor trocado \delta Q menos o trabalho realizado \delta W:
dU = \delta Q - \delta W.
Isso expressa o balanço de energia: toda energia que entra como calor ou trabalho modifica U, sem criação nem destruição de energia. Por isso é o princípio da conservação da energia.

Resposta

a) Porque em um gás ideal U depende apenas de T, temos
dU = \Bigl(\tfrac{\partial U}{\partial T}\Bigr)_V dT = n\,C_V\,dT.
b) Não; ao reescrever P=RT/(V+B) as derivadas de P em relação a V nunca se anulam, logo não há ponto crítico.
c) Pois a forma
dU = \delta Q - \delta W
é exatamente o balanço no qual toda energia recebida ou cedida aparece como variação de energia interna, sem geração ou destruição de energia.

Exercícios relacionados